Đặt:
$\dfrac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=\dfrac{a}{b}(a,b \in \mathbb{N})
\\\Rightarrow xb+yb\sqrt{2017}=ay+az\sqrt{2017}
\\\Rightarrow xb-ay=\sqrt{2017}(az-by)$
Tới đây $VT$ là số hữu tỉ, $VP$ là số vô tỉ nên:
$xb=ay,az=by \Rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z} \Rightarrow y^2=xz$.
Thay ngược lại vào đề bài.
$\dfrac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}
\\=\dfrac{x+\sqrt{xz2017}}{\sqrt{xz}+z\sqrt{2017}}
\\=\sqrt{\dfrac{x}{z}}$
Để $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố và kết hợp điều kiện $\sqrt{\dfrac{x}{z}}$ là số hữu tỉ thì $x,z$ phải là số chính phương.
Đặt $(x,z) \rightarrow (m^2,n^2) (m,n \in \mathbb{N})$.
Khi đó:
$x^2+y^2+z^2
\\=m^4+xy+n^4
\\=m^4+m^2n^2+n^4
\\=m^4+2m^2n^2+n^4-m^2n^2
\\=(m^2+n^2)^2-(mn)^2
\\=(m^2+n^2-mn)(m^2+n^2+mn)$
Tới đây để $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố thì một trong 2 thừa số phải bằng $1$ và thừa số còn lại phải là số nguyên tố.
Bạn giải phương trình nghiệm nguyên ra $m,n$ sau đó thế ngược lại xem có thỏa mãn không?
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
