toan 9 khó

[quanlu321]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho $2$ số dương $a,b$ sao cko $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$Q = \frac{1}{a^4 +b^2 + 2ab^2} +\frac{1}{ b^4 + a^2 + 2a^2b}$

 

[1um1nhemtho1]

cho $2$ số dương $a,b$ sao cko $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$Q = \frac{1}{a^4 +b^2 + 2ab^2} +\frac{1}{ b^4 + a^2 + 2a^2b}$

áp dụng BĐT Cauchy có:
$a^4+b^2 \ge 2a^2b$
\Rightarrow $ \frac{1}{a^4 +b^2 + 2ab^2} \le \frac{1}{2a^2b+2ab^2}=\frac{1}{2ab(a+b)}$
tương tự có: $\frac{1}{ b^4 + a^2 + 2a^2b} \le \frac{1}{2ab(a+b)}$
\Rightarrow $Q \le \frac{1}{ab(a+b)}$
từ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ \Rightarrow $a+b=2ab$
\Rightarrow $Q \le \frac{1}{ab(a+b)} = \frac{2}{(a+b)^2}$

Lại có BĐT $(a+b)^2 \ge 4ab$
\Leftrightarrow $(a+b)^2 \ge 2(a+b)$
\Leftrightarrow $a+b \ge 2$
\Rightarrow $Q \le \frac{2}{(a+b)^2} \le \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
\Rightarrow $Q_{min}=\frac{1}{2}$ xảy ra khi $a=b=1$