[Toán 9] Khó

[nhinthibiet97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1 giai phuong trinh nghiem nguyen
a, x+y+xy=x^2+y^2
b,x^2-xy+y^2=2x-y
c,x^2+xy+y^2=x^2y^2
2 tìm các số nguyên dương x,y để C là số nguyên dương với C=(x^3+x)/(xy-1)
3 tìm x thuộc Z để x^4+2x^3+2x^2+x+3 là một số chính phương
4* tìm bảy số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng hai lần tổng các bình phương của chúng

tớ không cần giải hết cậu thích làm câu nào cũng được

 

[minhtuyb]

1 giai phuong trinh nghiem nguyen
4* tìm bảy số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng hai lần tổng các bình phương của chúng

Câu này dễ chém trước :
Gọi 7 số cần tìm là [TEX]a;b;c;d;e;g;h[/TEX]
Theo bài ra,ta có:
[TEX]2(a^2+b^2+c^2+d^2+d^2+e^2+g^2+h^2)=a^2b^2c^2d^2e^2g^2h^2[/TEX]
-Không mất tính tổng quát,giả sử [TEX]a\geq b\geq c\geq d\geq e\geq g\geq h>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2b^2c^2d^2e^2g^2h^2\leq 14a^2 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow b^2c^2d^2e^2g^2h^2\leq 14[/TEX]
Do vế phải là 1 số chính phương
[TEX]\Rightarrow b^2c^2d^2e^2g^2h^2=1;4;9[/TEX]
Giải từng TH, kết hợp điều kiện [TEX]b\geq c\geq d\geq e\geq g\geq h>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (b;c;d;e;g;h)=(1;1;1;1;1;1);(2;1;1;1;1;1);(3;1;1;1;1;1)[/TEX]
Thế vào pt ban đầu tìm a.Ta được ngiệm:
[TEX](a;b;c;d;e;g;h)=(3;2;1;1;1;1;1)[/TEX]

 

[legendyugi]

Bon chen bài 1:
[TEX]a, x+y+xy=x^2+y^2 \Leftrightarrow x^2-x(y+1)+(y^2-y)=0[/TEX]
Để pt có nghiệm thì biệt số [TEX]\Delta\ge0 \Leftrightarrow (y+1)^2-4(y^2-y)\ge0 \Leftrightarrow 3y^2-6y-1\le0 \Leftrightarrow (\sqrt{3}x-\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}x-\sqrt{3}+2)\le0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}\le x\le \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0\le x\le2 \Leftrightarrow \left[\begin{x=0}\\{x=1}\\{x=2}[/TEX] thay vào pt ban đầu tính ra đc 6 nghiệm là [TEX](0;0);(0;1);(1;0);(1;2);(2;1);(2;2)[/TEX]

Ý b làm tương tự có các nghiệm là [TEX](0;0);(0;-1);(1;-1);(-1;1);(2;0);(2;-1)[/TEX]

c,[TEX]PT\Leftrightarrow (x+y)^2-(xy+\frac{1}{2})^2=-\frac{1}{4} \Leftrightarrow (x+y+xy+\frac{1}{2})(x+y-xy-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4} \Leftrightarrow (2x+2y-2xy-1)(2x+2y+2xy+1)=-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{\begin{2x+2y-2xy-1=-1}\\{2x+2y+2xy+1=1}[/TEX] 8-Xhoặc[TEX]{\left{\begin{2x+2y-2xy-1=1}\\{2x+2y+2xy+1=-1}[/TEX] |)
Giải hệ 8-X được[TEX]x=y=0[/TEX] , giải hệ |) được 2 nghiệm là [TEX](1;-1);(-1;1)[/TEX]

 

[legendyugi]

Bon chen tiếp bài 3
[TEX]PT=x^2(x+1)^2+x(x+1)+3=y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [x(x+1)+1]^2=y^2-\frac{11}{4}=z^2[/TEX]
[TEX]y^2[/TEX] là số chính phương nên [TEX](2y)^2=4y^2[/TEX] là số chính phương
[TEX]y^2-\frac{11}{4}[/TEX] là số chính phương nên [TEX]4y^2-11[/TEX] là số chính phương
Từ và [TEX]\Rightarrow[/TEX] 2 số chính phương của 2 số nguyên dương đó chênh nhau 11 đơn vị [TEX]\Rightarrow[/TEX]2 số duy nhất là 36 và 25 [TEX]\Rightarrow 4y^2=36 \Rightarrow y^2=9 \Rightarrow PT=9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=9 \Rightarrow (x-1)(x+2)(x^2+x+6)=0 \Rightarrow x_1=1;x_2=-2[/TEX]

 

[harrypham]

Các bác làm hơi nhiều đấy, bơi giờ đến lượt thằng này chém.

Câu 1. b) [TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]
Bài này tìm được 6 cách, xin post sau, bây giờ giới thiệu 1 cách.

Thêm [TEX]xy[/TEX] vào 2 vế ta được

[TEX]x^2+2xy+y^2=x^2y^2=xy[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^2=xy(xy+1)[/TEX]​

Nhận thấy xy và xy+1 là hai số nguyên liên tiếp mà có tích là 1 số chính phương nên tồn tại một số bằng 0.
Xét [TEX]xy=0[/TEX] hay [TEX]xy+1=0[/TEX] ta tìm được nghiệm [TEX]\fbox{(x,y) \in \{ (0,0),(1,-1),(-1,1) \}}[/TEX].

 

[harrypham]

Bon chen tiếp bài 3
[TEX]PT=x^2(x+1)^2+x(x+1)+3=y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [x(x+1)+1]^2=y^2-\frac{11}{4}=z^2[/TEX]
[TEX]y^2[/TEX] là số chính phương nên [TEX](2y)^2=4y^2[/TEX] là số chính phương
[TEX]y^2-\frac{11}{4}[/TEX] là số chính phương nên [TEX]4y^2-11[/TEX] là số chính phương
Từ và [TEX]\Rightarrow[/TEX] 2 số chính phương của 2 số nguyên dương đó chênh nhau 11 đơn vị [TEX]\Rightarrow[/TEX]2 số duy nhất là 36 và 25 [TEX]\Rightarrow 4y^2=36 \Rightarrow y^2=9 \Rightarrow PT=9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=9 \Rightarrow (x-1)(x+2)(x^2+x+6)=0 \Rightarrow x_1=1;x_2=-2 \rightarrow x=1[/TEX](do x nguyên dương)

Bài 2 lạ thế, tử không có y mà mẫu có y==

Bài này bác thiếu nghiệm rồi [TEX]x=-2[/TEX] nữa.

Lời giải. Đặt [TEX]x^4+2x^3+2x^2+x+3=y^2[/TEX] với y tự nhiên.

Ta thấy [TEX]y^2=(x^2+x)^2+(x^2+x+3).[/TEX]

Ta có: [TEX]y^2-(x^2+x)^2=x^2+x+3= \left( x+ \frac{1}{2} \right)^2+ \frac{11}{4} >0[/TEX].

[TEX](x^2+x+2)^2-y^2= 3x^2+3x+1=3 \left( x+ \frac{1}{2} \right)^2+ \frac{1}{4}>0[/TEX]

Như vậy [TEX](x^2+x)^2<y^2<(x^2+x+2)^2 \Rightarrow y^2=(x^2+x+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2-x+2=0 \Leftrightarrow \fbox{ x \in \{ 1,-2 \}}[/TEX].

 

[legendyugi]

Bài này bác thiếu nghiệm rồi [TEX]x=-2[/TEX] nữa.

Lời giải. Đặt [TEX]x^4+2x^3+2x^2+x+3=y^2[/TEX] với y tự nhiên.

Ta thấy [TEX]y^2=(x^2+x)^2+(x^2+x+3).[/TEX]

Ta có: [TEX]y^2-(x^2+x)^2=x^2+x+3= \left( x+ \frac{1}{2} \right)^2+ \frac{11}{4} >0[/TEX].

[TEX](x^2+x+2)^2-y^2= 3x^2+3x+1=3 \left( x+ \frac{1}{2} \right)^2+ \frac{1}{4}>0[/TEX]

Như vậy [TEX](x^2+x)^2<y^2<(x^2+x+2)^2 \Rightarrow y^2=(x^2+x+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2-x+2=0 \Leftrightarrow \fbox{ x \in \{ 1,-2 \}}[/TEX].

Nhìn nhầm sang đề bài bài 2 :-s nên kết luận nghiệm sai :-s, sửa lại rồi , mà thiếu bình phương ở chỗ [TEX](x^2+x+1)[/TEX]này bác

 

[harrypham]

Bài 2. [TEX](x^3+x) \vdots (xy-1) \Rightarrow x(x^2+1) \vdots xy-1[/TEX].
Do [TEX]xy-1[/TEX] và x nguyên tố cùng nhau nên [TEX]x^2+1 \vdots xy-1[/TEX].
[TEX]\Rightarrow (x^2+1+xy-1) \vdots (xy-1) \Rightarrow x(x+y) \vdots xy-1[/TEX].
Đặt [TEX]x+y=z(xy-1)[/TEX] với z nguyên dương. Ta đưa phương trình về giải [TEX]x+y+z=xyz[/TEX]. Dễ dàng tìm được nghiệm của x,y.