[Toán 9]<img src="http://diendan.hocmai.vn/images/eyeeasy/buttons/ChuaXN.png" border="0">

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề: Cho bộ số nguyên $x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ thỏa mãn $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$ và $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5>0$. Quy ước $x_i=x_{i+5}$. Nếu tồn tại một $x_i$ âm thì ta được phép biến đổi $x_{i-1},x_i,x_{i+1}$ bằng bộ $x_{i-1}+x_i, -x_i,x_{i+1}+x_i$. Chứng minh rằng sau một số bước hữu hạn thực hiện quá trình tên thì ta được bộ số mới toàn là những số không âm.

 

[huynhbachkhoa23]

Dãy sắp xếp $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$ là không cần thiết nên ta có thể lơ nó đi, chả cần quan tâm đến điều kiện này.
Đặt $X=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ và $F(X)=\sum\limits_{i=1}^5 (x_i-x_{i+2})^2$
Cho $x_i<0$. Đặt $Y=(x_{i-2},x_{i-1}+x_i,-x_i,x_{i+1}+x_i,x_{x+2})$
Dễ thấy sau mỗi lần biến đổi $X\to Y$ thì hiển nhiên tổng các hàn tử của bộ số là không đổi.
Ta cũng có $F(X)-F(Y)=-2x_i(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) >0$ nên $F(X)>F(Y)$
Điều này cho thấy qua các bước thực hiện thì $F(X)$ giảm thật sự. Ta còn có $F(X) \ge 0$ nên quá trình này không thể tiếp diễn đến vô hạn, đây là điều cần chứng minh.