Toán TOÁN 9 Hsg

[kienthuccohan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases}
x+y+xy=-1 \\
x^2+y^2-xy=7 \\
\end{cases} $$
2)Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

3) Tìm bộ ba số nguyên tố a,b,c thỏa mãn:
a \geq b \geq c và abc<ab + bc +ca

4) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$x^2-2x-6=y^2$

5) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M vẽ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O)(A,B là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO và AB
a) Chứng minh OM là đường trung trực của AB
b) Vẽ dây AC của đường tròn(O) sao cho AC // OM. Chứng minh BC là đường kính của đường tròn (O).
c) Kẻ đường cao AE của tam giác ABC(E∈BC). Chứng minh: BE.BC=4.MH.OH
d) Gọi F là giao điểm của MC và AE. Chứng minh F là trung điểm AE

 

[iceghost]

$\left\{ \begin{array}{l} {}
x+y+xy=-1 \\
x^2+y^2-xy=7 \\
\end{array} \right. \; (1)$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} {}a=x+y \\ b=xy \end{array} \right.$
Hệ pt $(1)$ trở thành
$\left\{ \begin{array}{l} {}
a+b=-1 \\
a^2-3b=7 \\
\end{array} \right. \\
\iff \left\{ \begin{array}{l} {}
b=-(a+1) \\
a^2+3(a+1)=7 \\
\end{array} \right. \\
\iff \left\{ \begin{array}{l} {}
b=-(a+1) \\
a^2+3a-4=0 \\
\end{array} \right. \\
\iff \left\{ \begin{array}{l} {}
b=-(a+1) \\
\left[ \begin{array} {}a=1 \\ a=-4 \end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\iff \left[ \begin{array}{l} {}
\left\{ \begin{array}{l} {}
a=1 \\ b = -2
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
a=-4 \\ b = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \\
\iff \left[ \begin{array}{l} {}
\left\{ \begin{array}{l} {}
x+y=1 \\ xy = -2
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
x+y=-4 \\ xy = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \\
\iff \left[ \begin{array}{l} {}
\left\{ \begin{array}{l} {}
y=-(x-1) \\ x(x-1) = 2
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
y=-(x+4) \\ x(x+4) = -3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \\
\iff \left[ \begin{array}{l} {}
\left\{ \begin{array}{l} {}
y=-(x-1) \\ x^2-x-2 = 0
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
y=-(x+4) \\ x^2+4x+3 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \\
\iff \left[ \begin{array}{l} {}
\left\{ \begin{array}{l} {}
y=-(x-1) \\
\left[ \begin{array}{l} {} x=-1 \\ x=2 \end{array} \right.
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
y=-(x+4) \\
\left[ \begin{array}{l} {} x=-1 \\ x=-3 \end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right. \\
\iff \left[ \begin{array}{l} {}
\left\{ \begin{array}{l} {}
x=-1 \\ y = 2
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
x=2 \\ y = -1
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
x=-1 \\ y = -3
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l} {}
x=-3 \\ y = -1
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\$
Vậy $(x;y) = (-1;2),(2;-1),(-1;-3),(-3;-1)$

 

[hien_vuthithanh]

2)Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b} \ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Theo BĐT tam giác có : $a+b-c >0 ; b+c-a >0; c+a-b >0 .$

AD BĐT $\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B} \ge \dfrac{4}{A+B}$ với $A ,B >0 $ có :

$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge \dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{2}{a}$

$\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b} \ge \dfrac{4}{b+c-a+c+a-b}=\dfrac{2}{b}$

$\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c} \ge \dfrac{4}{c+a-b+a+b-c}=\dfrac{2}{c}$

Cộng theo vế đc đpcm.