[Toán 9] Hình học

[hoangtubongdem5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC, AB = 1, Góc A = 105 độ ; Góc B = 60 độ. Trân cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AB ( D thuộc AC). Chứng minh rằng :

[TEX]\frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AD^2} = \frac{4}{3}[/TEX]

 

[hodoico]

Vẽ hình phụ, tạo ra tam giác vuông đỉnh A để vận dụng hệ thức
[TEX]\frac{1}{h^2}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{b^2}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c^2}[/TEX]
Vẽ AH vuông BC; AF vuông AC (H,F $\in BC$)
Dễ thấy tam giác ABC đều
[TEX]\ \widehat{EAD}[/TEX]=[TEX]\widehat{EAF}[/TEX]=$45^o$ ; [TEX]\widehat{AED}[/TEX]=[TEX]\widehat{AEF}[/TEX]=$60^o$
Tam giác AED=tam giác AEF (c.g.c) \Rightarrow AD=AF
Xét tam giác AFC Vuông tại A;
[TEX]\frac{1}{AC^2}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{AF^2}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{AH^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{AC^2}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{AD^2}[/TEX]=[TEX]\frac{4}{3}[/TEX] (vì $AH^2$=[TEX]\frac{3}{4}[/TEX]) \Rightarrow đpcm