[Toán 9]Hình học

[huuminhpro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]\large\Delta[/tex]ABC nhọn, các đường cao AA' , BB', CC', H là trực tâm
a) Tính tổng [TEX]\frac{HA'}{AA'}[/TEX] + [TEX]\frac{HB'}{BB'}[/TEX] + [TEX]\frac{HC'}{CC'}[/TEX]
b) GỌi AI là phân giác của [tex]\large\Delta[/tex]ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng : AN.BI.CM = BN.IC.AM
c) Chứng minh rằng
[TEX]\frac{(AB+BC+CA)^2}{AA'^2 + BB'^2 + CC'^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 4

 

[congchuaanhsang]

a, Ta có: $\frac{HA'}{AA'}$=$\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}$

$\frac{HB'}{BB'}$=$\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}$

$\frac{HC'}{CC'}$=$\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}$

\Rightarrow $\frac{HA'}{AA'}$ + $\frac{HB'}{BB'}$ + $\frac{HC'}{CC'}$

=$\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}$=1

b, Vì IN là phân giác $\hat{AIB}$\Rightarrow$\frac{AN}{BN}$=$\frac{AI}{BI}$

\LeftrightarrowAN.BI=AI.BN\Leftrightarrow$\frac{AN.BI}{BN}$=AI

\Leftrightarrow$\frac{AN.BI}{BN.CI}$=$\frac{AI}{CI}$
Vì IM là phân giác của $\hat{AIC}$\Rightarrow$\frac{AI}{CI}$=$\frac{AM}{CM}$

\Rightarrow$\frac{AN.BI}{BN.CI}$=$\frac{AM}{CM}$

\LeftrightarrowAN.BI.CM=BN.CI.AM

 

[congchuaanhsang]

c, Trên nửa mặt phẳng bờ AC ko chứa B kẻ tia Cx vuông góc với CC'

Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx, AD cắt Cx ở H

Tứ giác AC'CH là hình chữ nhật\Rightarrow$\hat{BAD}$=$90^0$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABD vuông ở A ta đk:

$AB^2$+$AD^2$=$BD^2$\leq$(BD+CD)^2$

Mà AD=2AH=2CC'\Rightarrow$AB^2$+$4CC'^2$\leq$(BC+CD)^2$

\Leftrightarrow$AB^2$+$4CC'^2$\leq$(BC+AC)^2$

\Leftrightarrow$AB^2$+$4CC'^2$\leq$BC^2$+$AC^2$+2BC.AC (1)

Cm tương tự ta đk $AC^2$+$4BB'^2$\leq$AB^2$+$BC^2$+2AB.BC (2)

$BC^2$+$4AA'^2$\leq$AB^2$+$AC^2$+2AB.AC (3)

Cộng từng vế của (1),(2),(3) rồi rút gọn ta đk

4($AA'^2$+$BB'^2$+$CC'^2$)\leq$(AB+BC+CA)^2$

\Leftrightarrow$\frac{(AB+BC+CA)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}$\leq4