[Toán 9] Hình học khó!

[mihiro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Ba đường cao AD, BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó lần lượt tại M,N,P.
Tính tổng số T = AM/AD+BN/BE+CP/CF

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hai hình vuông ABDE,ACFG ở phía ngoài tam giác ABC.
a) CM: 3 điểm D,A,F thẳng hàng
b) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng DE tại H. Tứ giác CDHF là hình gì?
c) CM: 5 điểm B,C,G,H,E cùng nằm trên một đường tròn

 

[nguyenlamlll]

Bài 1: Ba đường cao AD, BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó lần lượt tại M,N,P.
Tính tổng số T = AM/AD+BN/BE+CP/CF

Bài 1:
Tổng số T=4. Còn đây là hướng chứng minh.
Cm: BD là phân giác góc HBM và đồng thời là đường cao \Rightarrow đường trung tuyến \Rightarrow DH=DM
Cmtương tự: EH=EN; FH=FK

Phân tích đề bài:

[tex]\frac{AM}{AD} + \frac {BM}{BE} + \frac {CP}{CF} [/tex]

[tex] = \frac{AD}{AD} + \frac{DM}{AD} + \frac{BE}{BE} + \frac{EN}{BE} + \frac{CF}{CF} + \frac{FP}{CF} [/tex]

[tex] = 1 + \frac{DM}{AD} + 1 + \frac{EN}{BE} + 1 + \frac{FP}{CF} [/tex]

[tex] = 3 + \frac{DM}{AD} + \frac{EN}{BE} + \frac{FP}{CF} [/tex]

Mà : DH=DM; EH=EN; FH=FK (CMT)
Nên ta có:

[tex]\frac{AM}{AD} + \frac {BM}{BE} + \frac {CP}{CF} = 3 + \frac{DH}{AD} + \frac{EH}{BE} + \frac{FH}{CF} [/tex]

Ta có: [tex]\frac{DH}{AD} + \frac{EH}{BE} + \frac{FH}{CF} = 1[/tex]

Hướng chứng minh điều trên:

Lập tỉ số diện tích của từng cặp tam giác (cách tính diện tích tích một nửa cạnh đáy là 3 cạnh tam giác và 3 chiều cao là từ trực tâm đến 3 chân đường cao)

[tex]\frac{S_{\Delta BHC}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{DH}{DA}[/tex] (1)

[tex]\frac{S_{\Delta AHB}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{FH}{FC}[/tex] (2)

[tex]\frac{S_{\Delta AHC}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{EH}{EB}[/tex] (3)

Cộng vế theo vế ta được:

[tex] \frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}} = \frac{DH}{AD} + \frac{EH}{BE} + \frac{FH}{CF} = 1[/tex]

^ ^ 1 bài trước, sorry bạn

 

[vngocvien97]

Bài 2:
a. Ta có:[TEX]\{DAB}=\{ABC}CAF[/TEX]=45
[TEX]\{BAC}[/TEX]=90
Do đó: [TEX]\{DAF}[/TEX]=180( cộng 3 góc vs nhau)
hay D,A,F thẳng hàng
b, Ta có:[TEX]\{ABC}=\{DBH}[/TEX](cùng phụ với [TEX]\{HBA}[/TEX]
DB=BA(gt) (4)
[TEX]\{BDH}=\{BAC}=90[/TEX]
Do vậy [TEX]\large\Delta BDH=\large\Delta BAC[/TEX](g.c.g)
[TEX]\Rightarrow BH=BC[/TEX] (1)
Ta có: [TEX]HD^2=HB^2-BD^2[/TEX] (2)
[TEX]AC^2=BC^2-AB^2[/TEX] (3)
Từ 4 điều trên suy ra HD=AC=CF và CF//HD(cùng vuông góc với AC)
Vậy tứ giác CDHF là hình bình hành
c.Ta thấy góc ABC= góc AEG([TEX]\large\Delta EAG= \large\Delta BAC[/TEX]
Mà góc ABC=góc DBH suy ra góc DBH=góc AEG suy ra góc EGA=góc DHB (5)
Theo câu b suy ra [TEX]\large\Delta HBC[/TEX]vuông cân tại B[TEX]\Rightarrow [/TEX]góc BHC=góc AGC=45 độ (6)
Từ 5 và 6 suy ra góc EGC=góc DHC do đó EHCG nội tiếp
Dễ dàng chứng minh BHEC nội tiếp
Vậy 5 điểm B,H,C,E,G thuộc 1 đường tròn.
P/s: Mời bạn click vào nút cảm ơn ở góc phải màn hình.