[Toán 9 Hình - HK I] Các bài toán khó

[omegaraiki]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

2. Cho tam giác ABC đều, M thuộc BC ( M khác B,C). Vẽ MD vuông góc AB và ME vuông góc AC (D thuộc AB, E thuộc AC). Xác định vị trí của M để S (MDE) lớn nhất
3. Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối của tia DC lấy P. Tia PM cắt đoạn thẳng AC ở Q. C/m: góc QNM = góc MNP

Mấy bạn giúp mình nhé, mình cần nhất bài 2

 

[angleofdarkness]

2/

Gọi AH là đường cao tam giác ABC

Đặt AB = BC = CA = a

\Rightarrow $S_{ABC}=0,5AH.BC=0,5.AH.a$; $S_{MAB}=0,5.MD.AB=0,5MD.a$ và $S_{MAC}= 0,5ME.AC=0,5.ME.a$

Mà $S_{ABC}=S_{MAB}+S_{MAC}$ \Rightarrow $0,5.AH.a =0,5.MD.a+0,5.ME.a$ nên AH = MD + ME

Tứ giác ADME nội tiếp\Rightarrow góc DME = 180 - góc DAE = 120 độ.

$S_{MDE}=0,5.MD.ME.sin (góc DME)=0,5.MD.ME.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Mà MD.ME \leq $\dfrac{(MD + ME)^2}{4}=\dfrac{AH^2}{4}$$=$$\dfrac{(a. \dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}{4}$$=a^2.\dfrac{3}{16}.$

\Rightarrow $S_{MDE}$ \leq $a^2.\dfrac{3\sqrt{3}}{64}.$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow MD = ME suy ra MB = MC hay M là trung điểm BC

 

[angleofdarkness]

3/

Gọi H là giao của NQ và AD, K là giao NP và AD, E alf giao PQ và BC.

AM//CE nên $\dfrac{AM}{CE}=\dfrac{MQ}{QE}.$

DM//CE nên $\dfrac{DM}{CE}=\dfrac{PM}{PE}.$

Mà AM = MD nên $\dfrac{AM}{CE}=\dfrac{DM}{CE}$ \Rightarrow $\dfrac{MQ}{QE}=\dfrac{PM}{PE}$.

Tương tự $\dfrac{MQ}{QE}=\dfrac{MH}{EN};\dfrac{MK}{EN}= \dfrac{PM}{PE}.$

\Rightarrow $\dfrac{MH}{EN}=\dfrac{MK}{EN}$ \Rightarrow MH = MK.

H.c.nhật ABCD có Mn vuông góc với AD nên MN cũng là đường trung tuyến tam giác HNK cân ở N.

Do đó MN là p.giác HNK suy ra góc QNM = góc MNP.

 

[angleofdarkness]

Cách 2 bài 3 (cách này đơn giản hơn)

Gọi AC cắt MN tại O, kéo dài QN cắt DC tại H

Do MA = MD; NB = NC (gt) \Rightarrow MN là đường trung bình \Rightarrow MN // DC

\Rightarrow MO // DC, NO // DC, MO = NO

Áp dụng liên tiếp hệ quả Talet ta có: $\dfrac{MO}{PC}=\dfrac{QO}{QC}$; $\dfrac{QO}{QC}=\dfrac{ON}{CH}$

\Rightarrow $\dfrac{MO}{PC}=\dfrac{ON}{CH}$

Mà MO = NO\Rightarrow PC=CH \Rightarrow C là trung điểm của PH.

Mà NC vuông góc với PH \Rightarrow $\Delta$NPH cân tại N \Rightarrow NP = NH

Áp dụng định lý talet cho tam giác QNH ta có: $\dfrac{MQ}{MP}=\dfrac{QN}{NH}$

\Rightarrow $\dfrac{MQ}{MP}=\dfrac{QN}{NP}$ \Rightarrow MN là phân giác góc QNP

\Rightarrow đpcm.

 

[omegaraiki]

2/

Gọi AH là đường cao tam giác ABC

Đặt AB = BC = CA = a

\Rightarrow $S_{ABC}=0,5AH.BC=0,5.AH.a$; $S_{MAB}=0,5.MD.AB=0,5MD.a$ và $S_{MAC}= 0,5ME.AC=0,5.ME.a$

Mà $S_{ABC}=S_{MAB}+S_{MAC}$ \Rightarrow $0,5.AH.a =0,5.MD.a+0,5.ME.a$ nên AH = MD + ME

Tứ giác ADME nội tiếp\Rightarrow góc DME = 180 - góc DAE = 120 độ.

$S_{MDE}=0,5.MD.ME.sin (góc DME)=0,5.MD.ME.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Mà MD.ME \leq $\dfrac{(MD + ME)^2}{4}=\dfrac{AH^2}{4}$$=$$\dfrac{(a. \dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}{4}$$=a^2.\dfrac{3}{16}.$

\Rightarrow $S_{MDE}$ \leq $a^2.\dfrac{3\sqrt{3}}{64}.$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow MD = ME suy ra MB = MC hay M là trung điểm BC

đoạn "MD = ME suy ra MB = MC"

Em không hiểu lắm