[Toán 9] Hệ thức Viet và ứng dụng

[hoangtubongdem5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:

a) Cho a,b,c là các số dương thỏa [TEX]a^2+b^2-ac=c^2[/TEX]
C/m phương trình [TEX]x^2-2x + (a-c)(b-c) = 0[/TEX] luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Cho pt [TEX]x^2-x+p=0[/TEX] có 2 nghiệm dương [TEX]x_1,x_2[/TEX]

Xác định p để [TEX]x_1^4+x_2^4-x_1^5-x_2^5[/TEX] đạt GTLN


Bài 2
Giả sử phương trình [TEX]ax^2+bx+c = 0[/TEX] và [TEX]cx^2+bx+a[/TEX] ( a,c khác 0)
có các nghiệm [TEX](x_1,x_2)[/TEX] ; [TEX](y_1;y_2)[/TEX]
Chứng minh [TEX]x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2 \geq 4[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
Ta có $a(a-c)=(c-b)(c+b)$ nên$(a-c)(b-c)\le 0$
Bài 2.
$x_1^5+x_2^5=x_1^4+x_2^4-p(x_1^3+x_2^3)$ nên biểu thức giờ là:
$p(x_1^3+x_2^3)=p(1-3p)=\dfrac{1}{3}3p(1-3p)\le \dfrac{1}{12}$ theo AM-GM.
Vậy $p=\dfrac{1}{6}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3. $A=x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}+\dfrac{b^2}{c^2}-\dfrac{2a}{c}$
Nếu $ac<0$ thì $A\ge -2.\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge 4$
Nếu $ac>0$ thì áp dụng $b^2\ge 4ac$ ta được $A\ge 2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge 4$