[Toán 9] hệ thức lượng

[thythyhcb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $\Delta$ ABC vuông tại A, G là trọng tâm, BM là phân giác của $\Delta$ ABC , cho GM $\perp$ AC. CMR: BM $\perp$ trung tuyến AD
2.Cho $\Delta$ ABC, trung tuyến AD. gọi G là trọng tâm của tam giác. một cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC lần lượt tại M và N. CMR: $\dfrac{AB}{AM}$ + $\dfrac{AC}{AN}$ =3

 

[lamnguyen.rs]

1)
Ta có GM // AB (cùng vuông góc với AC) ==> $\widehat{AGM} = \widehat{BAG}$ (so le trong)
Tam giác ABC vuông ở A có AD là trung tuyến ==> AD = BD ==> tam giác ABD cân ở D ==> $\widehat{BAG} = \widehat{ABD}$
Suy ra $\widehat{AGM} = \widehat{ABC}$
==> TG AGM đồng dạng TG CBA (g.g)
==> $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AG}{CB}$ (*)
Ta có G là trọng tâm ==> $AG = \dfrac{2}{3}AD$
Mà $AD = \dfrac{BC}{2}$
Suy ra $AG = \dfrac{BC}{3}$
Thay vào (*) ta có $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{1}{3}$ <=> $\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{1}{2}$
BM là phân giác góc B ==> $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AM}{MC} = \dfrac{1}{2}$
Suy ra AB = BD ==> tam giác ABD cân ở B. Lại có BM là phân giác góc B ==> BM vuông góc AD.

 

[lamnguyen.rs]

2) Vẽ BP và CQ song song MN (P, Q thuộc AD)
Dễ chứng minh TG BPD = TG CQD (g.c.g) ==> QD = PD
Áp dụng định lý Talet:
$\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AP}{AG}$
$\dfrac{AC}{AN} = \dfrac{AQ}{AG}$
Suy ra $\dfrac{AB}{AM} + \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{AP + AQ}{AG} = \dfrac{AD + PD + AD - QD}{AG} = \dfrac{2AD}{AG}$ (*) (vì QD = PD (cmt))
G là trực tâm tam giác ABC ==> $AG = \dfrac{2}{3}AD$
Thay vào (*) ta có đpcm.