[Toán 9] Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

[bongbong586]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho tam giác DEF vuông tại E có đường cao EK.
a) Biết EK=6, DK=4. Tính chu vi và diện tích tam giác DEF
b) Vẽ KM vuông góc EF tại M, KN vuông góc ED tại N. Chứng minh:[TEX] EN.ED=EM.EF [/TEX]
và[TEX] DF^2 = 3.EK^2 + DN^2 + FM^2[/TEX]

@hoangtubongdem5: Chú ý tiêu đề : [Toán 9] + Tiêu đề
~> Lần này mình nhắc nhở, còn lần sau sẽ xóa

 

[hoangtubongdem5]

Cho tam giác DEF vuông tại E có đường cao EK.
a) Biết EK=6, DK=4. Tính chu vi và diện tích tam giác DEF

[TEX]EK = 6 ; DK = 4[/TEX]

Dùng Pytago tính được [TEX]DE = 5[/TEX]

[TEX]\Delta{DEK}[/TEX] Đồng dạng [TEX]\Delta{DFE} ( g.g)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{DK}{EK} = \frac{DE}{EF}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow EF = \frac{EK.DE}{DK}[/TEX]

Từ đó tính được [TEX]EF[/TEX]

Dùng Pytago tiếp tính được [TEX]DF[/TEX]

Có 3 cạnh tam giác vuông dễ dàng tính được chu vi và diện tích

 

[hoangthanh197]

Xét tam giác vuông DEF có:
[TEX]\widehat{DEF}=90^{0} DK.KF = EK^{2} \Rightarrow KF = 9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow DF =13[/TEX]
[TEX]S_{\Delta DEF}=13.6:2= 39[/TEX](đvdt)
[TEX]DE^{2}=DK.DF = 4.13 = 52 = 2\sqrt{13}[/TEX]
[TEX]EF^{2}=FK.DF =9.13 = 117= 3\sqrt{13} [/TEX]

Chu vi tam giác là:

[TEX] 13 + 2\sqrt{13}+3\sqrt{13} = 13 + 5\sqrt{13}[/TEX]

 

[nhuquynhdat]

b) CM: KMEN là hình chữ nhật $\Longrightarrow EK=NM$

Ta có: $EK^2=DK.KF$

$DN^2=DK^2-NK^2$

$MF^2=KF^2-KM^2$

$\Longrightarrow 3.EK^2 + DN^2 + FM^2=3DK.KF+DK^2-NK^2+KF^2-KM^2$

$=EF^2+2DK.KF+DK^2+KF^2-(NK^2+KM^2)=EF^2+2DK.KF+DK^2+KF^2-MN^2$

$=EF^2+2DK.KF+DK^2+KF^2-EF^2=(DK+KF)^2=DF^2$

$\Longrightarrow$ đpcm

 

[hoangthanh197]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
[TEX]EN.ED = EK^{2}[/TEX]
[TEX]EM.EF = EK^{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow EN.ED= EM.EF[/TEX]

Ta có: tứ giác MKNE là hcn

[TEX]\Rightarrow NK= EM, KM = NE[/TEX]

[TEX]3EK^{2}+ DN^{2}+FM^{2}=3(EM^{2}+EN^{2})+ DN^{2}+FM^{2}.[/TEX]

[TEX]=(EN^{2})+ DN^{2})+2 EM^{2}+2EN^{2}+(EM^{2}+FM^{2})[/TEX]

[TEX]=(EN^{2})+ DN^{2}+2DN.NE)+(EM^{2}+FM^{2} + 2EM.FM)[/TEX]
(Vì: [TEX]EM^{2}=NK^{2}= DN.NE; NE^{2} = KN^{2}=EM.MF[/TEX])

[TEX]=(EN+ND)^{2}+(EM+MF)^{2}[/TEX]

[TEX]ED^{2}+EF^{2}= DF^{2}[/TEX]