[Toán 9]Giúp mình bài toán bất đẳng thức này với !!!

[haibara4869]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ai làm được xin chỉ giáo dùm nha sắp nộp rồi hu hu
Đề bài :
Cho abc=ab + bc + ca và a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{a+2b+3c} +\frac{1}{3a+b+2c} + \frac{1}{2a+3b+c}\geq\frac{3}{16}[/TEX]

 

[songthuong_2535]

vì a,b,c > 0 nên: a+2b+3c>0, 2a+3b+c>0, 3a+b+2c>0

Ta có:
(*) 1/(a+2b+3c)≥1/4.(1/(a+c) + 1/2.(b+c))

(*') 1/(2a+3b+c)≥1/4.(1/(b+c) + 1/2(b+a))

(*'') 1/(3a+b+2c)≥1/4.(1/(a+b) + 1/2(a+c))

Từ (*), (*') và (*'') ta có:
(&) 1/(a+2b+3c) + 1/(2a+3b+c) + 1/(3a+b+2c) ≥3/8.(1/(a+c) + 1/(b+c) + 1/(b+a))

Mặt khác ta có:1/(a+c) + 1/(b+c) + 1/(b+a)≥1/2.(1/a+1/b+1/c)=(cb+ac+ab)/abc
mà abc=ab + bc + ca nên 1/(a+c) + 1/(b+c) + 1/(b+a)≥1/2.
=>(&):1/(a+2b+3c) + 1/(2a+3b+c) + 1/(3a+b+2c) ≥3/8.1/2=3/16
=>điều phải chứng minh

* bạn nên đọc thêm các bài chứng minh bất đẳng thức như thế này trong sách tham khảo hay sbt lớp 10 đại số

 

[braga]

[TEX]{\color{Blue} \text{Tu} \ xyz = xy + yz + zx \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \\ \text{Dat} \ a = \frac{1}{x};b = \frac{1}{y};c = \frac{1}{z} \Rightarrow a + b + c = 1\\ \text{Ap dung BDT Cauchy - Schwarz, ta co:} \ \ x + 2y + 3z = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \\ = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} \ge \frac{{36}}{{a + 2b + 3c}} \Rightarrow \frac{1}{{x + 2y + 3z}} \le \frac{{a + 2b + 3c}}{{36}} \\ \text{Tuong tu:} \ \ \frac{1}{{y + 2z + 3x}} \le \frac{{b + 2c + 3a}}{{36}} \ ; \ \frac{1}{{z + 2x + 3y}} \le \frac{{c + 2a + 3b}}{{36}} \\\text{Cong cac BDT tren theo tung ve , ta duoc:} \\ \frac{1}{{x + 2y + 3z}} + \frac{1}{{y + 2z + 3x}} + \frac{1}{{z + 2x + 3y}} \le \frac{{6\left( {a + b + c} \right)}}{{36}} = \frac{1}{6} < \frac{{3}}{16}}[/TEX]