toán 9 - Giải thích giúp mình

[654321sss]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

có 1 bài toán như sau :

CM rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có BĐT:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{d+c} + \frac{c}{a+d}+\frac{d}{b+a}$ \geq $2$

Đáp án là:
Đặt :
$S = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{d+c} + \frac{c}{a+d}+\frac{d}{b+a}$

$M = \frac{b}{b+c}+\frac{c}{d+c} + \frac{d}{a+d}+\frac{a}{b+a}$

$N = \frac{c}{b+c}+\frac{d}{d+c} + \frac{a}{a+d}+\frac{b}{b+a}$

Ta có $M+N = 4$. Theo BĐT AM - GM thì


$M+S = \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{d+c} + \frac{c+d}{a+d}+\frac{d+a}{b+a}$ \geq 4

$N+S = \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{d+c} + \frac{c+a}{a+d}+\frac{d+b}{b+a}$

$=\frac{a+c}{b+c}+ \frac{c+a}{a+d} + \frac{b+d}{d+c} + \frac{d+b}{b+a}$

\geq $\frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+ \frac{4(b+d)}{a+b+d+c} = 4 $

Vậy $M+N+2S$ \geq 8 \Rightarrow S\geq2. Dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=d$


Mình xem hướng dẫn xong nhưng không hiểu cái chỗ :

$N+S = \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{d+c} + \frac{c+a}{a+d}+\frac{d+b}{b+a}$

$=\frac{a+c}{b+c}+ \frac{c+a}{a+d} + \frac{b+d}{d+c} + \frac{d+b}{b+a}$

làm sao lại lớn hơn

$\frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+ \frac{4(b+d)}{a+b+d+c} = 4 $

 

[kakashi_hatake]

Bạn ơi
Cái đó là [TEX](a+c)(\frac{1}{a+d} + \frac{1}{b+c}) \geq (a+c). \frac{4}{a+d+b+c[/TEX]
Tương tự cái còn lại thôi
Bài này t có cách giải khác là
[TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} +\frac{d}{a+b} = \frac{ad+a^2+c^2+cb}{(b+c)(d+a)} +\frac{ba+b^2+dc+d^2}{(c+d)(a+b)} \geq \frac{4(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+dc+ad+bc)}{(a+b+c+d)^2} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd)}{(a+b+c+d)^2} = \frac{2(a+b+c+d)^2}{(a+b+c+d)^2}=2[/TEX]
ĐPCM

 

[mitd]

Mình nghĩ đề phải cho các số thực dương chứ

[TEX]\frac{a+c}{b+c} + \frac{c+a}{a+d}+\frac{b+d}{d+c}+\frac{b+d}{b+a} \geq \frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}[/TEX]

Cái đó áp dụng BĐT : [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX] với \forall [TEX]x,y > 0[/TEX]