[Toán 9] Giải PT - HPT bằng bất đẳng thức

[0973573959thuy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$1) \sqrt{17 + 8x - 2x^2} + \sqrt{4 + 12x - 3x^2} = x^2 - 4x + 13$

$2) \left\{ \begin{array}{l} 2005x^{2006} - 2006y^{2005} + 1 = 0 \\ x^2 + xy + y^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array} \right.$

$3) \left\{ \begin{array}{l} xy + yz + zx = 12 \\ xyz = 2 + x + y + z \end{array} \right.$ (x;y;z > 0)

$4) \left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 12 \\ xyzt = 27 + xy + xz + xt + yz + yt + zt \end{array} \right.$ (x;y;z;t > 0)

 

[huynhbachkhoa23]

Bài toán 1:
$\dfrac{\sqrt{25(-2x^2+8x+17)}}{5} \le \dfrac{-2x^2+8x+32}{10}$
$\dfrac{\sqrt{4(-3x^2+12x+4)}}{2}\le \dfrac{-3x^2+12x+8}{4}$
Giờ trừ vế theo vế sẽ ra một cái tam thức $\dfrac{39}{20}(x-2)^2 \ge 0$ thì ta có $x=2$
Cách khác đỡ rườm rà hơn thì ăn cơm rồi suy nghĩ.

 

[thuyanh_tls1417]

$3) \left\{ \begin{array}{l} xy + yz + zx = 12 \\ xyz = 2 + x + y + z \end{array} \right.$ (x;y;z > 0)

$x+y+z \ge \sqrt{3(xy+yz+xz)}=6$

\Leftrightarrow $xyz=2+x+y+z \ge 8$ (1)

Mặt khác $xy+yz+xz \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

\Leftrightarrow $xyz \le 8$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra hệ có nghiệm duy nhất $x=y=z=2$

Bài 4 có thể làm tương tự

 

[thuyanh_tls1417]

$1) \sqrt{17 + 8x - 2x^2} + \sqrt{4 + 12x - 3x^2} = x^2 - 4x + 13$

Nhìn nhanh ta có thể đánh giá bằng tam thức bâc 2

$\sqrt{17+8x-2x^2}=\sqrt{-2(x-2)^2+25} \le 5$

$\sqrt{4+12-3x^2}=\sqrt{-3(x-2)^2+16} \le 4$

Cộng từng vế

$\sqrt{17+8x-2x^2}+\sqrt{4+12x-3x^2} \le 9$ (1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=2$

Lại có $x^2-4x+13=(x-2)^2+9 \ge 9$ (2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=2$

Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$