Giải phương trình :
[tex]\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2[/tex]
ĐKXĐ:....
Bổ đề: [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}[/tex]
Chứng minh: [tex](1^{2}+1^{2})(a+b)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}[/tex] (BĐT Bunyakovsky)
[tex]\Rightarrow \sqrt{2(a+b)}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Áp dụng bổ đề ta được:
[tex]\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}\leq \sqrt{2(x+y-4+x-y+4)}=2\sqrt{x}[/tex]
[tex]\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}\leq \sqrt{2(x-y+4-x+y+4)}=4[/tex]
[tex]\sqrt{-x+y+4}+\sqrt{x+y-4}\leq \sqrt{2(-x+y+4+x+y-4)}=2\sqrt{y}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2(\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4})+\sqrt{-x+y+4})\leq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2) [/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4})+\sqrt{-x+y+4})\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}+2[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x+y-4=x-y+4=-x+y+4
<=> x=y=4 (t/m)
Vậy...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
