[Toán 9]Giải phương trình nghiệm nguyên

H

hoangtubongdem5

Đội 4

3. Từ PT [TEX]\Rightarrow x^2 +y^2 \vdots 7[/TEX] mà [TEX]7\equiv 3(mod4)[/TEX]

Vậy [TEX]x^2 \vdots 7; y^2\vdots 7[/TEX] ( cái này tự CM nhé )

Đặt [TEX]x=7x_1;y=7y_1[/TEX]

PT trở thành

[TEX]49x_1^2+49y_1^2=7z^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 7x_1^2 + 7y_1^2 = z^2[/TEX]

Vậy [TEX]z=7z_1[/TEX]

PT trở thành

[TEX]x_1^2 + y_1^2 = 7z_1^2[/TEX]

Vậy nếu $(x;y;z)$ là nghiệm thì [TEX](x_1;y_1;z_1)[/TEX] cũng là nghiệm

Tiếp tục [TEX]\Rightarrow x;y;z \vdots 7^n[/TEX] vơi n nguyên dương tùy ý

Điều này chỉ xảy ra tại [TEX](x;y;z)=(0;0;0)[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
T

thaolovely1412

đội 4

Câu 5
VP chia hết cho 3 \Rightarrow VT chia hết cho 3
\Rightarrow x và y chia hết cho 3
đặt x[TEX]=3x_{1};y=3y_{1}\Rightarrow x^{2}=9x_{1}^{2};y^{2}=9y_{1}^{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^2;y^2 [/TEX]chia hết cho 9
\Rightarrow VP chia hết cho 9
\Rightarrow z[TEX]^2;t^2 [/TEX]cũng cùng chia hết cho 3
Đặt [TEX]z=3z_{1};t=3t_{1}[/TEX]
Pt đãcho[TEX]\Leftrightarrow9(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})=9.6(z_{1}^{2}+t_{1}^{2})\Leftrightarrow (x_{1}^{2}+y_{1}^{2})=6(z_{1}^{2}+t_{1}^{2})[/TEX]
nếu (x,y,z) là nghiệm thì [TEX]\frac{x}{3^{k}};\frac{y}{3^{k}};\frac{z}{3^{k}})[/TEX] cũng là nghiệm với k là số nguyên dương bất kì
do đó pt có nhiệm duy nhất (x,y,z)=(0,0,0)
 
T

thaolovely1412

đội 4

Câu cuối
Ta có[TEX] y^3=(x-2)^4-x^4=-8(x-1)(x^2-2x+2)[/TEX]
\Rightarrow y chẵn \Rightarrow đặt y=-2k([TEX]k \in Z[/TEX]).
\Rightarrow [TEX] -8k3=-8(x-1)(x2-2x+2) [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]k^3=(x-1)(x2-2x+2)[/TEX]
ƯCLN([TEX]x-1,x^2-2x+2[/TEX])=1 [TEX]\Rightarrow x-1=a^3[/TEX] và [TEX]x^2-2x+2=b^3 (a,b \in Z)[/TEX]
[TEX](a^3)^2+1=b^3 \Rightarrow b>0[/TEX]. Đặt[TEX] a^2=c(c \in N)[/TEX]
ta có [TEX]c^3+1=b^3[/TEX] mà [TEX]b,c \in N \Rightarrow b>c[/TEX].
Th1: [TEX]b-c \geq 2 \Rightarrow b^3 \geq (c+2)^3=c^3+6c^2+12c+8> c^3+1[/TEX]
Loại.
Th2:[TEX]b-c=1 \Rightarrow c^3+1=(c+1)^3 \Rightarrow 3c^2+3c=0 \Rightarrow c=0 \Rightarrow a=0 \Rightarrow x=1 và y=0[/TEX]
 
L

letsmile519

Đội 4

câu 6:

$19x^2+28x^2=2001$

\Leftrightarrow $41x^2=2001$

mà 2001 không chia hết cho 41 -> không tìm được x
 
C

chonhoi110

Đội 3

Bài 1

* Nếu $x=0$ hoặc $y=0$, dễ dàng suy được $y=z$ hoặc $x=z$.

* Nếu $x,y \in N^*$:

Đặt $y!= x!(x+1)...(x+a); z!=y!(y+1)...(y+b) =x!...(x+a)...(x+a+b) (a,b \in N)$ (a,b không có điều kiện là thuộc $N^*$ nhá ), thay vào ta được :

$x! + x!...(x+a)=x!...(x+a=b) \\ \leftrightarrow 1+(x+1)..(x+a)=(x+1)...(x+a+b) \\ \leftrightarrow (x+1)...(x+a)[(x+a+1)...(x+a+b)-1]=1 \\ \left\{\begin{matrix}(x+1)...(x+a) =1 \\ (x+a+1)...(x+a+b)=2\end{matrix}\right.$

Mà $x\ge 1 \to a=b=0 \to x=y$.

Thay trở lại ta được : $2x!=z!$

Dễ dàng suy ra $(x;y;z)=(1;1;2)$

Bài 2

Nếu $x \vdots 2$ ~> $x^4\vdots 16 $

Nếu $x$ không chia hết cho 2 ~ > $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)\vdots 16$

~> $x^4 $ chia 16 dư 1

~> $x^4+y^4+z^4+t^4$ chia 16 có số dư $r$ thỏa mãn $0 \le r \le 4$

Mà 1605 chia 16 dư 5 ~> $PT$ vô nghiệm

Bài 4

Nếu x,y lẻ ~ > z chẵn , khi đó $x^2+y^2+z^2 \equiv 2 (mod 4)$, còn $x^2y^2 \equiv 1(mod4)$ ~> vô lí

Nếu x chẵn ~> y,z phải chẵn

Đặt $x=2x_1 ; y=2y_1, z=2z_1 (x_1,y_1,z_1 \in\mathbb{N})$

~> $x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1^2y_1^2$

Lập luận như trên ~> $x_1,y_1,z_1$ chẵn

Cứ tiếp tục như vậy ~> $x=y=z=0$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom