[Toán 9]đường tròn

[tep1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC lần lượt tại D và E. Gọi M là trung điểm của AB, đường thẳng MI cắt AC tại N. Đường thẳng DE cắt đường cao AH của tam giác ABC tại K. CMR AK= AN.

 

[demon311]

ĐỘI 5

Vì vai trò của B và C là như nhau nên giả sử AB < AC. Đặt EA = ID = IE = r (với r là bán kính của $(I)$). Gọi P là giao điểm của AI và ED
Ta có: $\widehat{ AIB}=180^o-\widehat{ IAB}-\widehat{ IBA}=135^o+(\dfrac{ \widehat{ ACB}}{2}-45^o)=90^o+\dfrac{ \widehat{ ACB}}{2}$
Mà DIEC là tứ giác nội tiếp ($\widehat{ IEC}+\widehat{ IDC}=180^o$) nên $\widehat{ IDE}=\widehat{ ICE}=\dfrac{ \widehat{ ACB}}{2}$
$\widehat{ BDP}=90^o+\widehat{ IDE}=90^o + \dfrac{ \widehat{ ACB}}{2}$
Do đó:
$\widehat{ AIB} = \widehat{ BDP} \;$ (cùng bằng $ 90^o + \dfrac{ \widehat{ ACB}}{2}$)
\Rightarrow Tứ giác BDPI nội tiếp. Mà $\widehat{ BDI} = 90^o$ \Rightarrow $\widehat{ BPI} = 90^o$ hay $BP \perp AP $
Kẻ $IQ \perp AI$ ( $Q \in AB$) \Rightarrow $\triangle AIJ$ vuông cân tại I
\Rightarrow $ AQ = AI\sqrt{ 2} = 2IE = 2r $
\Rightarrow $\dfrac{ AK}{ID} = \dfrac{ AP}{IP} =\dfrac{ AB}{BQ} = \dfrac{ AB}{AB - AQ} = \dfrac{ AB}{AB - 2r}$ (1)
Vì AI là tia phân giác $\widehat{ MAN}$ và $AB = 2AM$ nên:
$\dfrac{ AN}{AM} = \dfrac{ IN}{IM} = \dfrac{ EN}{EA} = \dfrac{AN - EA}{EA} = \dfrac{ AN}{EA} - 1 $
\Rightarrow $ AN(\dfrac{ 1}{EA} - \dfrac{ 1}{AM}) = 1$ \Rightarrow $ \dfrac{ AN}{EA} = \dfrac{ AM}{AM - EA} = \dfrac{ AB}{AB - 2EA} = \dfrac{ AB}{AB - 2r}$ (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow $\dfrac{ AK}{ID} = \dfrac{ AN}{EA}$ \Rightarrow $AK = AN$
Ngồi 4 tiếng đồng hồ mới ra