[Toán 9]Đường tròn và tứ giác nội tiếp

[beconvaolop]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R0,hai đường cao BE và AD cắt nhau tại H(D thuộc BC,E thuộc AC,AB<AC)
a,C/m tứ giác CDHE nội tiếp
b,C/m CE.CA=CD.CB
c,Cm/ OC vuông góc DE
d,Đường phân giác trong AN của góc A tam giác ABC cắt BC tại N và cắt đường tròn (O) tại K(K khác A).I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CAN.C/m KO và CI cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường tròn(O)

 

[angleofdarkness]

a/

Tứ giác CDHE có góc CDH = góc CEH = 90 độ nên tứ gíác này nội tiếp

b/

C/m tứ gíác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Mà AE giao BD ở C nên có hệ thức CE.CA = CB.CD

 

[angleofdarkness]

c/

Giả sử CO kéo dài cắt (O) ở P.

Ta có: góc PBC = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\Rightarrow góc PBA = góc BAD ( so le trong); góc PBA = góc ACP ( cùng chắn cung PA của (O)); góc BAD = góc BED( cùng chắn cung BD của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE).

\Rightarrow góc ACP = góc BED.

Mà góc BEC = góc BED + góc DEC = 90 độ.

\Rightarrow góc ACP + góc DEC = 90 độ.

\Rightarrow CO vuông vs DE.

 

[angleofdarkness]

d/

Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACN

AK là phân giác góc BAC \Rightarrow K là trung điểm của cung BC \Rightarrow KO cắt (O) tại điểm thứ hai M là trung điểm của cung lớn BC.

Gọi S là trung điểm AC, Q là trung điểm CN. \Rightarrow SQ // AN

\Rightarrow góc CSQ = góc CAK (*)

tâm I là giao điểm đường trung trực của AC và đường trung trực của CN.

\Rightarrow OI vuông vs AC tại S \Rightarrow góc CSI = 90 độ = góc CQI.

\Rightarrow CQSI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CI

\Rightarrow góc CSQ = CIQ |) ( cùng chắn cung CQ)

(*) và |) \Rightarrow góc CAK = góc CIQ (%)

mà góc CAK = góc CMK( cùng chắn cung CK của (O)) \Rightarrow kết hợp (%) đc góc CIQ = góc CMK.

\Rightarrow C,I,M thẳng hàng

\Rightarrow đpcm