[Toán 9] Đường tròn ngoại tiếp

[wolfsofsdarkness]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D, OD cắt AB, AC lần luột tại E, F. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. CMR: AO, EN, FM đồng quy.

 

[huynhbachkhoa23]

Xét bài toán tổng quát:
Tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $P$. $PO$ cắt $AB, AC$ tại $F, E$. $M, N$ là trung điểm $AB, AC$. Chứng minh $AO, ME, NF$ đồng quy.
Hiện tại có 2 lời giải dùng kiến thức hình học sơ cấp:
Lời giải 1:
$$S=MN\cap PO; T=OM\cap AC; Q=AB\cap NO;$$
$H$ là hình chiếu của $A$ trên $PO$. Ta có:
$$PB.PC=PA^2=PH.PO$$
Suy ra $BHOC$ nội tiếp. $QMNT$, $BTCQ$ và $AMHON$ nội tiếp là hiển nhiên.
$\widehat{QOT}=180^{o}-\widehat{TBA}=\widehat{QBC}$
Đến đây ta có $QBHOTC$ nội tiếp.
Suy ra $S$ là tâm đẳng phương của ba đường tròn .... nên $S, T, Q$ thẳng hàng.
Theo định lý Desargues thì $AO, ME, NF$ đồng quy.

 

[huynhbachkhoa23]

Lời giải 2:
Gọi $D$ là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 của $(O)$ đi qua $P$
Dễ dàng chứng minh $A(PDBC)=O(ASMN)$
Do $ABDC$ là tứ giác điều hoà nên $O(ASMN)=-1 \rightarrow (SOEF)=-1$
Do $S, M, N$ thẳng hàng nên cho ta $AO, ME, NF$ đồng quy.