[Toán 9] Đoạn thảng không đổ

[cobemuadong_195]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC nội tiếp (O) lấy M thuộc BC qua M kẻ (O1) và (O2) tiếp xúc AB và AC tai B và C. (O1) và (O2) giao nhau tại N
a, Chứng minh Tứ giác ABNC nội tiếp
b, AN giao BC tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với AC cắt NC tại E . CMR ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN
c, CMR MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên BC

 

[thaonguyenkmhd]

a/ Ta có $ \widehat{BNM} =\widehat{ABC}; \widehat{CNM}=\widehat{ACB} \to \widehat{BNC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}$

$\to \widehat{BAC}+\widehat{BNC}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o \to$ tứ giác ABNC nội tiếp

b/ Do $IE // AC \to \widehat{EIM}=\widehat{ACI}$ mà $\widehat{ACI}=\widehat{ENM} \to \widehat{EIM}=\widehat{ENM} \to$ tứ giác IMEN nội tiếp

$\to \widehat{EMN}=\widehat{EIN}$ mà $\widehat{EIN}=\widehat{CAN}=\widehat{CBN} \to \widehat{MBN}=\widehat{EMN}$

Kẻ tiếp tuyến ME' của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN $(E' \in NC) \to \widehat{MBN}=\widehat{E'MN}$

Lại có $\widehat{MBN}=\widehat{EMN} \to \widehat{E'MN}=\widehat{EMN} \to E \equiv E'$

$\to$ ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN

c/ Gọi K là giao của MN và (O)

Ta có $\widehat{KCB}=\widehat{MNB}=\widehat{ABC}$ mà $\widehat{KCB}+\widehat{KAB}=180^o \to \widehat{ABC}+\widehat{KAB}=180^o \to AK // BC$

Do K là giao của đường thẳng qua A song song với BC và (O) nên K cố định

Vậy MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên BC