[ toán 9]Định lý Viet

[heracross]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực x,y,z khác 0
và thoả mãn điều kiện x+y+z=xyz và x^2=yz
CM: x^2 lớn hơn 3
Gợi ýùng Viet

 

[minhvuong9cdt]

Miễn thanks !!!

Cho các số thực x,y,z khác 0
và thoả mãn điều kiện x+y+z=xyz và x^2=yz
CM: x^2 lớn hơn 3
Gợi ýùng Viet

Ta có : [TEX]x^2=yz[/TEX]

\Rightarrow [TEX]x+y+z=x^3[/TEX]

Do [TEX]x\neq 0\Rightarrow y+z=x^3-x[/TEX]

\Rightarrow [TEX]y,z[/TEX] là nghiệm của phương trình :

[TEX]a^2-(x^3-x)a+x^2=0[/TEX]

Đêy là phương trình bậc II ẩn a tham số x .

Do phương trình có nghiệm \Rightarrow [TEX]\Delta \geq 0[/TEX]

 

[pesatnhan]

chi cho em cach bam may tinh de jai dinh lj vi-et dc hok

 

[wangshixian_bmt]

Mình có cách 2 nek:
Vì [TEX]x + y + z =xyz \Rightarrow yz = 1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x}[/TEX] (vì x # 0) (*)
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: [TEX](a + b)^2 \geq 4ab[/TEX]. Ta có:
[TEX](\frac{y}{x} + \frac{z}{x})^2 \geq 4\frac{y}{x} . \frac{z}{x} = 4\frac{yz}{x^2} = 4\frac{x^2}{x^2} = 4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \geq 2[/TEX] hoặc [TEX]\frac{y}{x} + \frac{z}{x} \leq -2[/TEX].
* Xét trường hợp [TEX]\frac{y}{x} + \frac{z}{x} \geq 2[/TEX]. Ta có:
[TEX]1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \geq 3 \Rightarrow yz \geq 3 \Rightarrow yz \geq 3[/TEX](đúng với *). Vậy [TEX]x^2 \geq 3[/TEX]
* Xét trường hợp 2 [TEX]\frac{y}{x} + \frac{z}{x} \leq -2[/TEX]. Ta có:
[TEX] 1 + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \leq -1 \Rightarrow x^2 = yz \leq -1[/TEX] (Vô lí).
Vậy ta suy ra điều phải chứng minh