[toán 9] đề vô địch toán lớp 9 Matxcova, 1985

[binbon249]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm tất cả giá trị của x, y, z thỏa mản đẳng thức:
[tex]\sqrt{x-y+z}[/tex][TEX]=[/TEX][tex]\sqrt{x}- \sqrt{y}+ \sqrt{z}[/tex]

 

[math_life6196]

1. Tìm tất cả giá trị của x, y, z thỏa mản đẳng thức:
[tex]\sqrt{x-y+z}[/tex][TEX]=[/TEX][tex]\sqrt{x}- \sqrt{y}+ \sqrt{z}[/tex]

[TEX]\leftrightarrow x-y+z = x+y+z+2\sqrt{xz}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{yz}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow y+\sqrt{xz}-\sqrt{xy}-\sqrt{yz} = 0[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z}) = 0[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow x = y ; y = z[/TEX]
[TEX]x = y \rightarrow x,y,z \geq 0[/TEX]
[TEX]y = z \rightarrow x,y,z \geq 0[/TEX]
Vô số nghiệm không âm

 

[binbon249]

....................... TIẾP NHA:
cho hai số a>0, b>0 và a#b. CMR
[TEX]B<\frac{(a-b)^2}{8(A-B)} <A[/TEX]
trong đó [TEX]A = \frac{a+b}{2}[/TEX] ( trung bình cộng của a và b)
[TEX]B= \sqrt{ab}[/TEX]( trung bình nhân của a và b)
( thi vô địch toán New York, 1975)

 

[math_life6196]

....................... TIẾP NHA:
cho hai số a>0, b>0 và a#b. CMR
[TEX]B<\frac{(a-b)^2}{8(A-B)} <A[/TEX]
trong đó [TEX]A = \frac{a+b}{2}[/TEX] ( trung bình cộng của a và b)
[TEX]B= \sqrt{ab}[/TEX]( trung bình nhân của a và b)
( thi vô địch toán New York, 1975)

[TEX]\leftrightarrow \sqrt{ab} < \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} < \frac{a+b}{2}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow \sqrt{ab} < \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4} < \frac{a+b}{2} [/TEX]
Cái đầu là AM-GM , cái sau là Cauchy-Schwarz

 

[binbon249]

Làm tiếp nha..................................
Cho[TEX]a, b, c >1[/TEX] . Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{ab}{a^5+b^5+c^5}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca} < or = 1[/TEX]

Sao không có dấu bằng nhỉ??
Mình làm thế này :
Ta có [TEX]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{a}+1}\leq \frac{1}{3ab}[/TEX] (Cô si 3 số cho mãu)
Tương tự ta có
[TEX]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq \sum \frac{1}{3ab}[/TEX]
Mà a;b;c>1 nên ab;bc;ca >1
Suy ra Đpcm nhưng không có dấu bằng !!!!

mình có ghi dấu <or= nghĩa là bé hơn hoặc bằng đó
thông cảm quên cách ghi mà vào hướng dẫn ko được

tiếp nhé................
Giả sử x, y, z là các số nguyên dương và thoả mản điệu kiện
[TEX]xy^2z^2 + x^2z + y= 3z^2[/TEX]
hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
[TEX]P= \frac{x^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/TEX]

 

[ohmymath]

Làm tiếp nha..................................
Cho[TEX]a, b, c >1[/TEX] . Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca} < or = 1[/TEX]

Sao không có dấu bằng nhỉ??
Mình làm thế này :
Ta có [TEX]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{a}+1}\leq \frac{1}{3ab}[/TEX] (Cô si 3 số cho mãu)
Tương tự ta có
[TEX]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq \sum \frac{1}{3ab}[/TEX]
Mà a;b;c>1 nên ab;bc;ca >1
Suy ra Đpcm nhưng không có dấu bằng !!!!

 

[mn04812]

Cho x,y,z>0;[TEX]xyz\geq1 [/TEX]C/m...

C/m [TEX]\frac{{x}^{5}-{x}^{2}}{{x}^{5}+{y}^{2}+{z}^{2}}+\frac{{y}^{5}-{y}^{2}}{{y}^{5}+{z}^{2}+{x}^{2}}+\frac{{z}^{5}-{z}^{2}}{{z}^{5}+{x}^{2}+{y}^{2}}\geq0[/TEX]