[Toán 9] Đề thi tự luyện (nâng cao và chuyên)

[minhhoang_vip]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ĐỀ 1 (180 phút)
Câu 1:
a) Giải hệ phương trình

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} 2x_2 - 5x_2 + 3x_3 = 0 \\ 2x_2-5x_3+3x_4=0 \\ ... \\ 2x_n - 5x_1 + 3x_2 = 0 \end{array} \right [/TEX]
​

b)
1. Chứng minh rằng tồn tại một luỹ thừa của 3 mà bốn chữ số tận cùng của nó là 0001
2. Cho 40 số nguyên dương [TEX]a_1, a_2, ..., a_{19}[/TEX] và [TEX]b_1, b_2, ..., b_{21}[/TEX] thoả mãn: [TEX]1 \leq a_1 < a_2 < ... < a_{19} \leq 200 [/TEX] và [TEX]1 \leq b_1 < b_2 < ... < b_{21} \leq 200 [/TEX]
Chứng minh rằng tồn tại 4 số [TEX]a_i, a_j, b_k, b_p \ \ (1 \leq i, j \leq 19; 1 \leq k, p \leq 21)[/TEX]sao cho

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} a_i < a_j \\ b_k < b_p \\ a_j - a_i = b_p - b_k \end{array} \right [/TEX]

c) Trong mặt phẳng cho n điểm [TEX](n \geq 3)[/TEX]. Biết mỗi đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ đều qua điểm thứ 3 khác. Chứng minh n điểm đã cho thẳng hàng.

Câu 2: Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức:
[TEX]\Large {a+b+c+1 \geq \frac{2}{3} \left( \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} + \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \right ) }[/TEX]
Khi nào đẳng thức xảy ra?

Câu 3:
a) Cho a, b, c khác 0. Tính giá trị biểu thức [TEX]T = x^{2003} + y^{2003} + z^{2003}[/TEX], biết x, y, z thoả mãn điều kiện
[TEX]\Large{\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} }[/TEX]
b) Giả sử [TEX]p = \overline{abc}[/TEX] là số nguyên tố có 3 chữ số. Chứng minh rằng phương trình [TEX]ax^2 + bx + c = 0[/TEX] không có nghiệm hữu tỉ
c) Giải các phương trình sau:
1. [TEX]\Large{\frac{|3-2x| - |x|}{|2+3x| + x - 2} = 5}[/TEX]
2. [TEX]\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{x+3} = 0[/TEX]

Câu 4:
a) Cho đường tròn (O; R) và dây BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn BC của đường tròn để AB + 2AC đạt giá trị lớn nhất.
b) Cho tam giác ABC. Gọi [TEX](O; R); (I; R_A)[/TEX]lần lượt là đường tròn ngoại tiếp, bàng tiếp góc A của tam giác. Chứng minh rằng [TEX]OI^2 = R^2 + 2.R.R_A[/TEX]

Câu 5: Cho đa thức f(x) bậc 6 thoả mãn f(1) = f(-1); f(2) = f(-2); f(3) = f(-3). Chứng minh rằng f(x) = f(-x) với mọi giá trị x

Câu 6: Chứng minh rằng [TEX]\forall n \in Z ^ +[/TEX], đa thức [TEX](x+1)^{2n+1} + x^{n+2}[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]

ĐỀ 2 (180 phút)
Câu 1: a) Tìm các nghiệm nguyên dương của các phương trình sau:
1. [TEX]xy^2 + 2xy - 243y + x = 0[/TEX]
2. [TEX]\sqrt{x+2 \sqrt{3}} = \sqrt{y} + \sqrt{z}[/TEX]
3. [TEX]5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt[/TEX]
b) Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (x; n) thoả mãn phương trình [TEX]x^3 + 3367 = 2^n[/TEX]
c) Chứng minh rằng số [TEX]\Large{A = 2^{2^{2n}} + 5}[/TEX] chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên n

Câu 2:
a) Chứng minh rằng tích A(n) = (n + 1)(n + 2)...(n + n) chia hết cho [TEX]2^n[/TEX] với mọi số nguyên dương n
b) Chứng minh rằng số được thành lập bởi [TEX]3^n[/TEX] chữ số giống nhau thì chia hết cho [TEX]3^n[/TEX], trong đó n là số nguyên dương cho trước
c) Chứng minh rằng các số Fermat [TEX]\Large{A(n) = 2^{2^n} + 1}[/TEX] đều tận cùng bởi 7
Câu 3:
a) Cho a, b là hai số thực sao cho [TEX]a^3 + b^3 = 2[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX]0 < a + b \leq 2[/TEX]
b) Tìm m để phương trình [TEX]x^2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0 [/TEX] có hai nghiệm [TEX]x_1, x_2[/TEX] thoả mãn [TEX]|x_1 - x_2| = 17[/TEX]

Câu 4: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
[TEX]ab+ bc + ca \leq a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)[/TEX]

Câu 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M nằm trong đường tròn. Gọi X, Y, Z, T, U, V là hình chiếu vuông góc của M xuống AB, BC, CD, DA, AC, BD. Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của UV, XZ, YT. Chứng minh rằng N, P, Q thẳng hàng

Câu 6:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
[TEX]\Large{y = \sqrt{x^3 + 2(1+ \sqrt{x^3 + 1})} + \sqrt{x^3 + 2(1 - \sqrt{x^3 + 1})}[/TEX]
b) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng [TEX]7(ab + bc + ca) \leq 2 + 9abc[/TEX]
​

 

[nguyenphuongthao28598]

Câu 4: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng ab+ bc + ca \leq a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab +

CÓ (a-b)^2\geq0

\Rightarrow a^2+b^2\geq2ab

Tương tự b^2+c^2\geq2bc

a^2+c^2\geq2ac

\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ac+ab+bc)

\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geqac+ab+bc

ÁP DỤNG BDT TRONG TAM GIÁC TA CÓ
a nhỏ hơn b+c nhân 2 vế của BDT với a

\Rightarrow a^2 nhỏ hơn ba+ac

CÓ b nhỏ hơn a+c nhân 2 vế của BDT với b

\Rightarrow b^2nhỏ hơn bc+ba

CÓ c nhỏ hơn a+b nhân 2 vế của BDT với c

\Rightarrow c^2 nhỏ hơn ca + cb

\Rightarrow a^2+b^2+c^2 nhỏ hơn 2( ac+bc+ab)

\RightarrowĐIỀU PCM

NHỚ THANKS EM 1 PHÁT NHA

 

[mydream_1997]

​

Câu 3:

b) Tìm m để phương trình [TEX]x^2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0 [/TEX] có hai nghiệm [TEX]x_1, x_2[/TEX] thoả mãn [TEX]|x_1 - x_2| = 17[/TEX]​

Câu 6:


a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:


[TEX]\Large{y = \sqrt{x^3 + 2(1+ \sqrt{x^3 + 1})} + \sqrt{x^3 + 2(1 - \sqrt{x^3 + 1})}[/TEX]​

lam 2 cau de nhat di
chac ai cung lam duoc qua
cau3 b/DS:m=16 hoac m=-16
cau6 con de hon GTNN=0 khi x=-1(TMDK)

 

[vy000]

b) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng [TEX]7(ab + bc + ca) \leq 2 + 9abc[/TEX]
\Leftrightarrow7(ab + bc + ca)(a+b+c) \leq 2(a+b+c)^3 + 9abc
\Leftrightarrow2(a^3+b^3+c^3)\geqa^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b luôn đúng||||-)|-)|-)

​

 

[linhhuyenvuong]

ĐỀ 1 (180 phút)

Câu 3:


a) Cho a, b, c khác 0. Tính giá trị biểu thức [TEX]T = x^{2003} + y^{2003} + z^{2003}[/TEX], biết x, y, z thoả mãn điều kiện


[TEX]\Large{\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} }[/TEX]



Câu 6: Chứng minh rằng [TEX]\forall n \in Z ^ +[/TEX], đa thức [TEX](x+1)^{2n+1} + x^{n+2}[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]​

3a,
[TEX]gt \Rightarrow (\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2})+(\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2})+(\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2})=0[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX] \sum x^2(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2})=0[/TEX]

[TEX]\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}>0[/TEX]
\Rightarrowx=y=z=0 \Rightarrow T=0