[Toán 9] Đề thi toán (điều kiện) tuyển sinh vào lớp 10 THPT Khoa học tự nhiên

[hungasdfghjkl]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút​

Câu I.
1) Giả sử $a$, $b$ là hai số thực phân biệt thoả mãn $a^2+3a=b^2+3b=2$.
a) Chứng minh rằng $a+b=-3$.
b) Chứng minh rằng $a^3+b^3=-45$.
2) Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
2x+3y=5xy \\
4x^2+y^2=5xy^2
\end{cases}$$
Câu II.
1) Tìm các số nguyên $x$, $y$ không nhỏ hơn 2 sao cho $xy-1$ chia hết cho $(x-1)(y-1)$.
2) Với $x$, $y$ là những số thực thoả mãn đẳng thức $x^2y^2+2y+1=0$, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\dfrac{xy}{3y+1}$$
Câu III.
Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC, IB.
1) Chứng minh rằng EF song song với BC.
2) Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE, DF, EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M, P, N, J cùng thuộc một đường tròn.
3) Chứng minh rằng ba điểm A, J, P thẳng hàng.
Câu IV.
1) Cho bảng ô vuông 2015x2015. Kí hiệu ô $(i, j)$ là ô ở hàng thứ $i$, cột thứ $j$. Ta viết các số nguyên dương từ $1$ đến $2015$ vào các ô của bảng theo quy tắc sau:
i) Số $1$ được viết vào ô $(1,1)$,
ii) Nếu số $k$ được viết vào ô $(i, j)$, $(i>1)$, thì số $k+1$ được viết vào ô $(i-1, j+1)$,
iii) Nếu số $k$ được viết vào ô $(1, j)$ thì số $k+1$ được viết vào ô $(j+1, 1)$. (Xem hình dưới.)
$$\begin{array}{lcr}
1 & 3 & 6 & 10 & 15 & ... \\
2 & 5 & 9 & 14 & ... & ... \\
4 & 8 & 13 & ... & ... & ... \\
7 & 12 & ... & ... & ... & ... \\
11 & ... & ... & ... & ... & ...
\end{array}$$
Khi đó, số $2015$ được viết vào ô $(m,n)$. Hãy xác định $m$ và $n$.
2) Giả sử $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca+abc \le 4$. Chứng minh rằng
$$a^2+b^2+c^2+a+b+c \ge 2(ab+bc+ca)$$.

 

[hungasdfghjkl]

Câu III.
Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC, IB.
1) Chứng minh rằng EF song song với BC.
2) Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE, DF, EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M, P, N, J cùng thuộc một đường tròn.
3) Chứng minh rằng ba điểm A, J, P thẳng hàng.

Hình vẽ:

 

[hien_vuthithanh]

Câu I.
1) Giả sử $a$, $b$ là hai số thực phân biệt thoả mãn $a^2+3a=b^2+3b=2$.
a) Chứng minh rằng $a+b=-3$.
b) Chứng minh rằng $a^3+b^3=-45$.

a.$$a^2+3a=b^2+3b \leftrightarrow (a-b)(a+b+3)=0\leftrightarrow \begin{bmatrix} & a=b & \\ & a+b=-3 & \end{bmatrix}$$
b. $$(a^2+3a)(b^2+3b)=4$$
$$\leftrightarrow a^2b^2+3ab(a+b)+9ab=4$$
$$\leftrightarrow a^2b^2=4 (Do a+b=-3)$$
$$\leftrightarrow ab=-2 (Do a+b=-3 \rightarrow ab<0)$$

ta có :$$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=-45$$

 

[hien_vuthithanh]

2) Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
2x+3y=5xy \\
4x^2+y^2=5xy^2
\end{cases}$$

$$PT1 \rightarrow (2-5y)x=3y$$
Xét $ y=\dfrac{2}{5} $ không là nghiệm
Xét $y\ne \dfrac{2}{5}\rightarrow x=\dfrac{3y}{2-5y}$

Thế vào PT2 dc $$4(\dfrac{3y}{2-5y})^2 +y^2=5.\dfrac{3y}{2-5y}.y^2$$
$$\leftrightarrow \dfrac{36y^2}{25y^2-20y+4}+y^2=\dfrac{15y^3(2-5y)}{25y^2-20y+4}$$
$$\leftrightarrow 36y^2+25y^4-20y^3+4y^2=30y^3-75y^4$$
$$\leftrightarrow 100y^4-50y^3+40y^2=0$$
$$\leftrightarrow y=0 \rightarrow x=0$$

 

[lp_qt]

$$PT1 \rightarrow (2-5y)x=3y$$
Xét $ y=\dfrac{2}{5} $ không là nghiệm
Xét $y\ne \dfrac{2}{5}\rightarrow x=\dfrac{3y}{2-5y}$

Thế vào PT2 dc $$4(\dfrac{3y}{2-5y})^2 +y^2=5.\dfrac{3y}{2-5y}.y^2$$
$$\leftrightarrow \dfrac{36y^2}{25y^2-20y+4}+y^2=\dfrac{15y^3(2-5y)}{25y^2-20y+4}$$
$$\leftrightarrow 36y^2+25y^4-20y^3+4y^2=30y^3-75y^4$$
$$\leftrightarrow 100y^4-50y^3+40y^2=0$$
$$\leftrightarrow y=0 \rightarrow x=0$$

Đưa về đồng bậc có lẽ nhanh hơn mà nhân ra không nhầm được:

$$\begin{cases} 2x+3y=5xy \\ 4x^2+y^2=5xy^2\end{cases} \rightarrow 2x^2y^2 +3xy^3=4x^3y+xy^3 \iff xy^3-2x^2y^2+x^3y=0 \iff xy(x^2-2xy+y^2) =0 \iff ...$$

Không thì chia trường hợp $y=0;y \ne 0$

 

[eye_smile]

IV.2,

Ta có:

$a^2+b^2+c^2+a+b+c \ge a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{abc} \ge a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Theo BĐT Schur, có:

$a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \ge \sum \sqrt[3]{a^2b^2}(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}) \ge 2(ab+bc+ca)$

\Rightarrow đpcm.

 

[eye_smile]

II.2,

Ta có: $P=\dfrac{xy}{3y+1}=\dfrac{2xy}{-3x^2y^2-1}$

\Rightarrow $-3P.x^2y^2-2xy-P=0$

$\Delta'=1-3P^2 \ge 0$

\Rightarrow $3P^2 \le 1$

\Rightarrow ...