[toán 9]Đề thi thử toán chuyên lần 2 HN-Ams 2012-2013

[son9701]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Oài,vừa đi 20 cây số về đến nhà,mệt gần chết,share anh em cái đề vào thảo luận nek:

Câu I ( 2 điểm): Cho hàm số : $f(x) = \sqrt{x^2+3}-x $ và $x_1;x_2$ là 2 nghiệm pt $x^2+(m-3)x+m=0$ Tính :
$$f(x_1)+f(x_2)+f(x_1).f(x_2)$$

Câu II (3 điểm):
1) Giải phương trình : $$(x^2+19x-5)+19(x^2+19x-5)-x=5$$
2) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2x^2(8x-1) + y^2 = 0 \\ \frac{9x^2}{x^2+y+1}+\frac{x^2+y+1}{x^2}=10 \end{matrix}\right.$

Câu III (2 điểm):
1) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n để $$ 5^n+1 \vdots 49^{2012}$$
2) Tìm x;y nguyên dương để: $$\sqrt{x-1}+\sqrt{y+1} = \sqrt{\frac{xy-1+x-y}{2012}}$$

Câu IV (2 điểm) :Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và 2 đường cao BE;CF,phân giác trong AD.Gọi I;K lần lượt là trung điểm AH;BC.IK cắt AD ở M.Chứng minh rằng E;M;H;F cùng thuộc 1 đường tròn

Câu V (1 điểm)Cho x;y dương thay đổi.Tìm Min:
$$ P=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{2}+ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} +\frac{1}{1+\sqrt{x}} $$

 

[daovuquang]

Xơi câu dễ trước.)
II.
1, [TEX](x^2+19x-5)^2+19(x^2+19x-5)-x=5[/TEX] (đề bài ntn phải ko anh, ko thì dễ quá )
[TEX]\Leftrightarrow x^4+38x^3+370x^2+170x-75=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2+20x+15)(x^2+18x-5)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=-10-\sqrt{85};\sqrt{85}-10;-9-\sqrt{86};\sqrt{86}-9.[/TEX]

Giải như sau:
Bổ đề: (Định lý Euler) Nếu $m$ là một số nguyên dương và $gcd(a,m)=1$ thì
$a^{Q(m)} \equiv 1 \pmod{m}$
Chứng minh định lý này rất dễ, nó gần tương tự định lý Fermat nhỏ (mọi người có thể tự chứng minh hoặc tham khảo trên mạng)
Áp dụng:
Nhận xét $$49^{2012}=7^{4024}$$
Xét dãy toàn các số không nguyên tố cùng nhau với $7^{4024}$ là $A=7,14,28,...,7^{4024}$
Số số của dãy $A$ là $\dfrac{(7^{4024}-7)}{7}+1=7^{4023}$
Do vậy $Q(7^{4024})=7^{4024}-7^{4023}=6.7^{4023} \rightarrow 7^{4024}|5^{6.7^{4023}}-1=(5^{3.7^{4023}}-1)(5^{3.7^{4023}} +1)$
Ta thấy $5^{3.7^{4023}}-1$ không chia hết cho $7$ (bởi vì $(5^3)^{7^{4023}} \equiv (-1)$ nên $5^{3.7^{4023}}-1 \not \vdots 7$
Do vậy $gcd(5^{3.7^{4023}}-1,7^{4024})=1 \rightarrow 7^{4024}|5^{3.7^{4023}} +1$
Như vậy có vô hạn $n$ có dạng $n=(3.7^{4023}).k$ với $k$ lẻ do đó tồn tại số $n$ thỏa đề (và còn chứng minh nó vô hạn nữa )

Lời giải của nguyenta98 trên VMF. Về định lí Euler các bạn xem chứng minh ở đây.

 

[bboy114crew]

Oài,vừa đi 20 cây số về đến nhà,mệt gần chết,share anh em cái đề vào thảo luận nek:

Câu I ( 2 điểm): Cho hàm số : $f(x) = \sqrt{x^2+3}-x $ và $x_1;x_2$ là 2 nghiệm pt $x^2+(m-3)x+m=0$ Tính :
$$f(x_1)+f(x_2)+f(x_1).f(x_2)$$

Câu II (3 điểm):
1) Giải phương trình : $$(x^2+19x-5)+19(x^2+19x-5)-x=5$$
2) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2x^2(8x-1) + y^2 = 0 \\ \frac{9x^2}{x^2+y+1}+\frac{x^2+y+1}{x^2}=10 \end{matrix}\right.$

Câu III (2 điểm):
1) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n để $$ 5^n+1 \vdots 49^{2012}$$
2) Tìm x;y nguyên dương để: $$\sqrt{x-1}+\sqrt{y+1} = \sqrt{\frac{xy-1+x-y}{2012}}$$

Câu IV (2 điểm) :Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và 2 đường cao BE;CF,phân giác trong AD.Gọi I;K lần lượt là trung trực AH;BC.IK cắt AD ở M.Chứng minh rằng E;M;H;F cùng thuộc 1 đường tròn

Câu V (1 điểm)Cho x;y dương thay đổi.Tìm Min:
$$ P=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{2}+ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} +\frac{1}{1+\sqrt{x}} $$

Đề này hay đó!
Anh thấy nếu KHTN mà ra được đề thế này thì hay quá!

 

[son9701]

Tớ giải câu III.1 theo 1 cách khác như sau:
Xét [tex]\frac{49^{2012}+1}{2}[/tex] số sau: [TEX]5^1;5^2;....;5^{49^{2012}+1}[/TEX]
và xét [tex]\frac{49^{2012}-1}{2}[/tex] tập hợp các số dư khi chia cho $49^{2012}$ sau: [tex](1;49^{2012}-1) , (2;49^{2012}-2),....,(\frac{49^{2012}-1}{2};\frac{49^{2012}+1}{2})[/tex]

Theo nguyên lý đi-rích-lê vì [tex]\frac{49^{2012}-1}{2}+1=\frac{49^{2012}+1}{2}[/tex] nên tồn tại 2 trong số [tex]\frac{49^{2012}+1}{2}[/tex] số trên cùng nằm trong 1 tập hợp.Khi đó,ta có luôn tồn tại i;j thoả mãn (với i>j) thì :
[tex]5^i+5^j \vdots 49^{2012}[/tex]hay [tex]5^j(5^{i-j}+1)\vdots 49^{2012}[/tex]

Mà [tex](5^j;49^{2012})=1[/tex] nên ta có đpcm

Cách giải trong bài thi của tớ là như vậy(chả hiểu có bậy chỗ nào ko)

Mất oan câu hệ.lòi cả mắt

 

[bboy114crew]

Cách giải trong bài thi của tớ là như vậy(chả hiểu có bậy chỗ nào ko)

Mất oan câu hệ.lòi cả mắt

Câu hệ cũng không khó lắm đâu!
Thế này nhé !
Từ cái PT dưới đó!
Mình phân tích được thế này!
[TEX](9x^2-x^2-y-1)(x^2-x^2-y-1)=0[/TEX]
Tới đây chắc dề rồi!
Đề nay nói chung hợp với bọn em còn mắc bài nào không?

 

[aklpt12345]

Câu hệ cũng không khó lắm đâu!
Thế này nhé !
Từ cái PT dưới đó!
Mình phân tích được thế này!
[TEX](9x^2-x^2-y-1)(x^2-x^2-y-1)=0[/TEX]
Tới đây chắc dề rồi!
Đề nay nói chung hợp với bọn em còn mắc bài nào không?

Câu cuối bất đẳng thức giải thế nào ạ . Trông nó lộm cộm quá. Giúp với

 

[shayneward_1997]

Câu IV (2 điểm) :Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và 2 đường cao BE;CF,phân giác trong AD.Gọi I;K lần lượt là Trung trực AH;BC.IK cắt AD ở M.Chứng minh rằng E;M;H;F cùng thuộc 1 đường tròn

Đề hình thế này thì bá đạo rồi.

Với I,K là trung điểm AH,BC giải thử nhé ~~:
Ta có: (EAF) giao (BEF) tại EF và IK là đường nối tâm nên IK đi qua điểm chính giữa cung EF.

AD là phân giác nên AD đi qua điểm chính giữa cung EF.

Từ đó suy ra: M nằm trên cung EF ~> Đpcm

Câu nghiệm nguyên ra :[TEX]\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}}=[/TEX][TEX]\frac{1}{\sqrt{2012}}[/TEX]
thì ''đến nay súng đã tịt ngòi''

Ps:Sáng mai t qua rủ nhá

 

[vy000]

Câu V (1 điểm)Cho x;y dương thay đổi.Tìm Min:
$$ P=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{2}+ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} +\frac{1}{1+\sqrt{x}} $$

đặt [TEX]\sqrt[]{x}=a\geq0;\sqrt[]{y}=b\geq0[/TEX]
[TEX]P=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{1+a}[/TEX]
[TEX] =\frac{a^2+a+1+b}{(1+b)(1+a)}+\frac{ab+b^2+2}{(a+b)2}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{4a^2+4a+4b+4+4ab+4b^2+8}{(a+b+2)^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{4a^2+4b^2+4a+4b+4ab+12}{(a+b+2)^2}\geq2[/TEX]

 

[vy000]

Câu hệ cũng không khó lắm đâu!
Thế này nhé !
Từ cái PT dưới đó!
Mình phân tích được thế này!
[TEX](9x^2-x^2-y-1)(x^2-x^2-y-1)=0[/TEX]
Tới đây chắc dề rồi!
Đề nay nói chung hợp với bọn em còn mắc bài nào không?

ban đầu em cũng ra thế này nhưng y=-1 thay vào cái trên có [TEX]16x^3-2x^2+1=0[/TEX]
đến đây thì chịu

 

[vy000]

mình còn bài này tựa tựa như bài cuối nhưng mãi ko ra,mọi người xử giùm:
tìm no nguyên dương:
[TEX] \frac{2010}{x+y} + \frac{x}{y+2009} + \frac{y}{4019} + \frac{2009}{x+2010} =2[/TEX]
(cái bài này thầy mình giải bằng bđt nhưng lâu quá rồi chả thấy quyển vở đâu nữa.ai có cách nào hay mình thanks nhiều)

 

[aklpt12345]

đặt [TEX]\sqrt[]{x}=a\geq0;\sqrt[]{y}=b\geq0[/TEX]
[TEX]P=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{1+a}[/TEX]
[TEX] =\frac{a^2+a+1+b}{(1+b)(1+a)}+\frac{ab+b^2+2}{(a+b)2}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{4a^2+4a+4b+4+4ab+4b^2+8}{(a+b+2)^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{4a^2+4b^2+4a+4b+4ab+12}{(a+b+2)^2}\geq2[/TEX]

Bạn giả thích rõ được ko à. Nhiều đoạn mình ko thấm

 

[shayneward_1997]

mình còn bài này tựa tựa như bài cuối nhưng mãi ko ra,mọi người xử giùm:
tìm no nguyên dương:
[TEX] \frac{2010}{x+y} + \frac{x}{y+2009} + \frac{y}{4019} + \frac{2009}{x+2010} =2[/TEX]
(cái bài này thầy mình giải bằng bđt nhưng lâu quá rồi chả thấy quyển vở đâu nữa.ai có cách nào hay mình thanks nhiều)

Đặt 2010=t,2009=z
Bài toán trở thành:
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+t}+\frac{z}{t+x}+\frac{z}{x+y}=2[/TEX]

VT là bdt Nesbit 4 biến
Gợi ý vậy thôi bạn giải tiếp nhá

 

[son9701]

Xơi câu dễ trước.)
II.
1, [TEX](x^2+19x-5)^2+19(x^2+19x-5)-x=5[/TEX] (đề bài ntn phải ko anh, ko thì dễ quá )
[TEX]\Leftrightarrow x^4+38x^3+370x^2+170x-75=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2+20x+15)(x^2+18x-5)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=-10-\sqrt{85};\sqrt{85}-10;-9-\sqrt{86};\sqrt{86}-9.[/TEX]

Lời giải của nguyenta98 trên VMF. Về định lí Euler các bạn xem chứng minh ở đây.

Ê ku,thế nếu anh em nào đi thi vớ phải bài này mà không biết chứng minh Euler thì ngồi cắm bút à
Thực ra chứng minh Euler nhìn cũng k đến nỗi,chứ như phương trình Pell đi thi mà bắt cminh thì hết biết

Spam vậy thôi,haizz

 

[vuhoang97]

hjhj

Đề này ko khó lắm
nhưng cũng hay đấy
mình thấy câu 2 giải = đặt ẩn phụ là ra , đưa về hpt đối xứng
nhưng bạn viét sạ đề bài]

 

[daovuquang]

Ê ku,thế nếu anh em nào đi thi vớ phải bài này mà không biết chứng minh Euler thì ngồi cắm bút à
Thực ra chứng minh Euler nhìn cũng k đến nỗi,chứ như phương trình Pell đi thi mà bắt cminh thì hết biết

Spam vậy thôi,haizz

Thì giải theo cách của anh thôi.) Lúc đầu nhìn cách thằng Nguyên em cũng ko biết định lí Euler đâu.)

 

[minhtuyb]

Câu V (1 điểm)Cho x;y dương thay đổi.Tìm Min:
$$ P=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{2}+ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} +\frac{1}{1+\sqrt{x}} $$

VT là bdt Nesbit 4 biến
Gợi ý vậy thôi bạn giải tiếp nhá

Hờ hờ năm nay đề KHTN mà cho câu cuôi là BĐT thì còn gì bằng :x:x:x (Xin đừng tổ hợp ^^)
SOLUTION:
Hai câu trên bản chất giống nhau thôi ). Với câu Ams thì đặt $a=\sqrt{x};b=\sqrt{y};c=d=1$ với đk $a,b\ge 0;c,d>0$ thì biểu thức trở thành:
$$P\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge^{Nesbit} 2$$
-Dấu bằng xảy ra khi $a=c;b=d\Leftrightarrow x=y=1$
Vậy $minP=2$ khi $x=y=1$
P/s: Bài này dài hơn ở chỗ phải ngồi cm lại Nesbit
P/s2: Pell;Euler đều mù tịt cả ="='

 

[bboy114crew]

Hờ hờ năm nay đề KHTN mà cho câu cuôi là BĐT thì còn gì bằng :x:x:x (Xin đừng tổ hợp ^^)
'

Tổ hợp còn dễ ăn chứ đừng nghĩ là BĐT đã dễ!
Năm ngoái chả có mấy ngưòi làm được bài BDDT cuối vòng 1 đâu!

@minhtuyb: Em cũng không làm được . Nhưng mà nếu cho tổ hợp còn teo nữa . Mà anh giải hộ em con đó lun đi ;

 

[hocsinhgd]

đặt [TEX]\sqrt[]{x}=a\geq0;\sqrt[]{y}=b\geq0[/TEX]
[TEX]P=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{1+a}[/TEX]
[TEX] =\frac{a^2+a+1+b}{(1+b)(1+a)}+\frac{ab+b^2+2}{(a+b)2}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{4a^2+4a+4b+4+4ab+4b^2+8}{(a+b+2)^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{4a^2+4b^2+4a+4b+4ab+12}{(a+b+2)^2}\geq2[/TEX]

Cho hỏi là bạn đã áp dụng bất đẳng thức gì để tìm ra Min vậy ?

 

[vy000]

Cho hỏi là bạn đã áp dụng bất đẳng thức gì để tìm ra Min vậy ?

đoạn cuối \geq 2 ấy ah
biến dổi tương đương bạn ạ