[Toán 9] đề thi HSG TP Lào cai

[linh123658]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dt(O), điểm P cố định bên trong đường tròn. qua P vẽ 2 dây AB và CD vuông góc vs nhau ở P .M là trung điểm AD, N là trung điểm BC.c/m MN luôn đi qua 1 điểm cố định

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzzzzzz

Cho dt(O), điểm P cố định bên trong đường tròn. qua P vẽ 2 dây AB và CD vuông góc vs nhau ở P .M là trung điểm AD, N là trung điểm BC.c/m MN luôn đi qua 1 điểm cố định

Bạn tự vẽ hình nha .

vì $M$ là trung điểm dây $AD$ của $(O)$ nên \Rightarrow $OM$ $\perp$ $AD$.
Gọi giao của $NP$ với $AD$ là $F$.
Lúc đó ta có: $\widehat{FPA}= \widehat{BPN}$ $(1)$ (đối đỉnh)
mà tam giác $BPC$ vuông tại $P$ có $PN$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
$PN=\frac{1}{2}BC=BN$
\Rightarrow tam giác $PNB$ cân tại $N$
\Rightarrow $\widehat{BPN}= \widehat{PBN}$ $(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ \Rightarrow $\widehat{FPA}= \widehat{PBN}$ $(3)$
mà lại có $\widehat{APC}= \widehat{ABC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$).
hay $\widehat{ADP}= \widehat{PBN}$ $(4)$
từ $(3)$ và $(4)$ \Rightarrow $\widehat{FPA}= \widehat{ADP}$
mà $ \widehat{ADP} + \widehat{DAP}= 90^0 $
nên $\widehat{FPA} + \widehat{DAP}=90^0$
\Rightarrow $\widehat{AFP}=90^0$
\Rightarrow $NF$ $\perp$ $AD$
mà $OM$ $\perp$ $AD$ \Rightarrow $NF // OM $ hay $PN // OM$
chứng minh tương tự ta cũng được $MP // ON$
\Rightarrow $OMPN$ là hình bình hành. \Rightarrow $MN$ đi qua trung điểm của $OP$ mà $OP$ cố định nên trung điểm của $OP$ cố định.
Vậy $MN$ đi qua điểm cố định.