[Toán 9] Đề thi HSG toán 9 thành phố Đà Lạt năm học 2011-2012

[minhtuyb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO​

THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT​

ĐỀ CHÍNH THỨC​

(Đề thi gồm 1 trang)​

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ ​

NĂM HỌC 2011-2012​

Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011​

Môn thi : TOÁN​

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)​

Câu 1: (1,5đ) Rút gọn biểu thức[TEX]A=\sqrt{\sqrt{6}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}.[/TEX][TEX]\sqrt{3+2\sqrt2}.\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}}[/TEX]

Câu 2 :(1,5đ) Chứng minh :[TEX]a^3-6a^2-7a+12[/TEX] chia hết cho 6 . [TEX]a\in Z[/TEX]

Câu 3 : (1,5đ) Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] có [TEX]\widehat{A}>90^o[/TEX] ,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .

Câu 4 :(1,5đ) Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] vuông tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.
Biết [TEX]AB = c, AC = b[/TEX]. Tính HN theo b và c.

Câu 5 :(1,5đ ) Tìm số nguyên tố P sao cho P +2 và P +4 cũng là số nguyên tố.

Câu 6 :(1,5đ) Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn: [TEX]a^{2009}+b^{2009}=a^{2010}+b^{2010}=a^{2011}+b^{2011}[/TEX]
Hãy tính tổng: [TEX]S=a^{2012}+b^{2012}[/TEX]

Câu 7 : (2đ) Một tam giác có số đo diện tích (đơn vị [TEX]cm^2[/TEX]) bằng số đo chu vi (đơn vị [TEX]cm[/TEX]). Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đó

Câu 8 :(1,5đ) Chứng minh rằng nếu [tex]a^2+b^2+c^2 = ab + ac + bc[/tex] thì [tex]a = b = c[/tex]

Câu 9 :(2đ) Chứng minh rằng : [tex](3a+5b, 8a+13b) = (a, b)[/tex] với a, b là các số nguyên.

Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : [TEX]a+b+c=2012[/TEX] và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2012}[/TEX] . Chứng minh rằng một trong ba số đó phải có một số bằng 2012.

Câu 11 : (2đ) Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX]. M là một điểm thuộc cạnh BC [TEX]M\neq B,C[/TEX]. Chứng minh rằng:
[tex]MA.BC < MC.AB + MB.AC [/tex]

Câu 12 :(1,5đ) Chứng minh rằng phân số [TEX]\frac{1+n^2+n^7}{1+n+n^8}[/TEX] không tối giản. [TEX](n\in N)[/TEX]

----------- HẾT ----------

Ước gì mình ở Đà Lạt (. Đề nhiều câu nhưng dễ thật :|
Kinh nhỉ chưa đầy 24h đề đã bị chém sạch , ae ra ngó đề Thanh Hoá xem nhé )
​

 

[lan_phuong_000]

Giải từ từ nhé!
Bài 1:
[TEX]A= \sqrt{\sqrt{6}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}.\sqrt{3+2\sqrt{2}}.\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}}[/TEX]
[TEX]A=\sqrt{\sqrt{6}+\sqrt{2}+1}.\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{2}-1}.(\sqrt{2}+1)[/TEX]
[TEX]A=\sqrt{6-(\sqrt{2}+1)^2}.(\sqrt{2}+1)[/TEX]
[TEX]A=\sqrt{3-2\sqrt{2}}.(\sqrt{2}+1)[/TEX]
[TEX]A=2-1=1[/TEX]

 

[l0vely_heart]

Câu 2 :(1,5đ) Chứng minh :[TEX]a^3-6a^2-7a+12[/TEX] chia hết cho 6 . [TEX]a\in Z[/TEX]

[TEX]a^3-6a^2-7a+12[/TEX]
= [TEX](a^3 - a) - (6a^2 + 6a -12)[/TEX]
= [TEX](a-1)a(a+1) - 6(a^2 + a -2 )[/TEX]
\Rightarrow

 

[son9701]

Chém mấy bài dĩ nhiên đã:
8/[tex]a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca \leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \Leftrightarrow a=b=c[/tex]
12/Vì [tex]n^7+n^2+1\vdots n^2+n+1 vs n^8+n+1\vdots n^2+n+1[/tex] --> đpcm
5/ p=3 --> p+2=5;p+4=7 (t/m)
p khác 3 --> p=3k+1 hoặc p=3k+2 vs k tự nhiên --> hoặc p+2 hoặc p+4 chia hết cho 3 và >3 --> loại
Vậy p=3

 

[minhtuyb]

Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : [TEX]a+b+c=2012[/TEX] và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2012}[/TEX] . Chứng minh rằng một trong ba số đó phải có một số bằng 2012.

Dễ cũng ngại chém =((
Xét tích:
[TEX](a-2012)(b-2012)(c-2012)[/TEX]
[TEX]=abc+2012^2(a+b+c)-2012(ab+bc+ca)-2012^3[/TEX]
[TEX]=abc+2012^2.2012-2012.\frac{ab+bc+ca}{abc}.abc-2012^3[/TEX]
[TEX]=abc -2012.abc.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
[TEX]=abc-2012.abc.\frac{1}{2012}=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a-2012)(b-2012)(c-2012)=0\Rightarrow Q.E.D[/TEX]

Ae tích cực nào rồi mình đưa đề xứ Thanh lên chém típ :x:x:x

 

[minhtuyb]

Câu 6 :(1,5đ) Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn: [TEX]a^{2009}+b^{2009}=a^{2010}+b^{2010}=a^{2011}+b^{2011}[/TEX]
Hãy tính tổng: [TEX]S=a^{2012}+b^{2012}[/TEX]

Câu 7 : (2đ) Một tam giác có số đo diện tích (đơn vị [TEX]cm^2[/TEX]) bằng số đo chu vi (đơn vị [TEX]cm[/TEX]). Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đó

Câu 6:
[TEX]a^{2011}+b^{2011}=(a^{2010}+b^{2010})(a+b)-ab(a^{2009}+b^{2009}[/TEX]
Chia 2 vế cho: [TEX]a^{2009}+b^{2009}=a^{2010}+b^{2010}=a^{2011}+b^{2011}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1=(a+b)-ab[/TEX]
[TEX]\Rightarrow ab-a-b+1=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a-1)(b-1)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a=1\cup b=1[/TEX]
Cả 2 TH ta đều có thể suy ra [TEX]a=b=1[/TEX]
Vậy [TEX]S=2[/TEX]

Câu 7: Gọi chu vi là p, diên tích là S, có:
[TEX]S=\frac{pr}{2}[/TEX]
Mà [TEX]S=p(gt)\Rightarrow p=\frac{pr}{2}\Rightarrow r=2(cm)[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Câu 6: Đặt [TEX]{a}^{2009}+{b}^{2009}=m[/TEX]
Ta có:[TEX]m=(a+b)({a}^{2010}+{b}^{2010})-ab({a}^{2009}+{b}^{2009})=(a+b)m-ab.m[/TEX]
\Rightarrow[TEX](a-1)(b-1)=0[/TEX]\Rightarrow[TEX]a[/TEX] hoặc [TEX]b[/TEX] bằng 1
Thay vào đt ban đầu được a=b=1\Rightarrow[TEX]S[/TEX]

Câu 7:
Ta chứng minh được công thức: [TEX]S=p.r[/TEX] với [TEX]S,p,r[/TEX] là diện tích,nửa chu vi,bán kính đường tròn nội tiếp.
Theo bài ra:
[TEX]p.r=2p[/TEX]\Rightarrow[TEX]r[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Đặt [TEX](a,b)=d,(3a+5b,8a+13b)=d'[/TEX]
Do d\a,d\b nên d\3a+5b vàd\8a+13b
\Rightarrow d là ƯC (3a+5b,8a+13b)\Rightarrowd\d'
Do [TEX](3a+5b,8a+13b)=d'[/TEX]\Rightarrowd'\8(3a+5b)-3(8a+13b)=b
Tương tự:d'\a nên d'\d
Từ đó suy ra [TEX]d=d'[/TEX]

Câu 11 : (2đ) Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX]. M là một điểm thuộc cạnh BC [TEX]M\neq B,C[/TEX]. Chứng minh rằng:
[tex]MA.BC < MC.AB + MB.AC [/tex]

Ta có: [TEX]MA<AB[/TEX] và [TEX]MA<AC[/TEX]
nên [TEX]MA.BC=MA.BM+MA.CM<AB.CM+AC.BM[/TEX]

 

[l0vely_heart]

Câu 3 : (1,5đ) Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] có [TEX]\widehat{A}>90^o[/TEX] ,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .

Gọi I là trung điểm của BD
...\Rightarrow IM là đường trung bình [TEX]\Delta DBC[/TEX]
\Rightarrow IM // DC hay IM // AD
\Rightarrow [TEX]\frac{KI}{KD} = \frac{KM}{KA}[/TEX]
\Rightarrow
[TEX]\frac{ID}{KD} = \frac{MA}{KA} (MA = ID gt) [/TEX]
\Rightarrow[TEX]AK = KD[/TEX] :-SS

 

[vngocvien97]

Cách làm khác câu 5: Ta có: P+2=(P-1)+3 (1)
P+4=(P+1)+3 (2)
Xét trong 3 số P-1;P;P+1 phải có 1 số chia hết cho 3.Từ (1)(2) suy ra P chia hết cho 3
[TEX]\Rightarrow P=3[/TEX]......
Cách làm khác bài 10: Từ gt suy ra:[TEX]\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow abc=(bc+ca+ab)(a+b+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0[/TEX] và suy ra 3 trường hợp từ đó suy ra đpcm.
Bài 8dễ wa để cho em nhưng đừng quên thanks nha!)
Từ giả thiết[TEX]\Rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0[/TEX] suy ra đpcm.|-)

 

[happytomorrowww]

Mình làm bài 4 nha. chưa thấy bôi xanh bôi đỏ kìa ;

Do [TEX]\Delta ABC[/TEX] vuông tại A nên theo định lý Pytago có:
[TEX]BC=a=\sqrt{b^2+c^2}[/TEX]

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
[TEX]AC^{2}=HC.BC[/TEX]
[TEX]=>HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{b^2}{a}[/TEX] (để a cho tiện nha )


Lại có: [TEX]HN//BA[/TEX] (vì cùng vuông góc với AC). Theo định lý Ta-let:
[TEX]\frac{HC}{BC}=\frac{HN}{AB}[/TEX]
[TEX]=> HN=\frac{AB.HC}{BC}[/TEX]
Tìm đk rồi nhaz