[Toán 9] Đề thi hsg tỉnh

T

thuytrangnbk20

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn:
$\dfrac{1}{1+a}$ + $\dfrac{1}{1+b}$ + $\dfrac{1}{1+c}$ = 2. Tìm GTLN của Q = abc.

2) Cho a, b là hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn $2a^2$ + a = $3b^2$ + b.
Chứng minh : 2a+2b+1 là số chính phương.

3) Tìm nghiệm nguyên của pt:
$x^2$ + 2$y^2$ + 3xy - 2x - 4y + 3 = 0

4) a) Tìm hai số nguyên a, b để $a^4$ + $4b^4$ là số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n \geq 1 thì G(n) = $3^{2n+3}$ + 40n - 27 chia hết cho 64.

5) a)Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên :
P = $\dfrac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$
b) Cho a+b+c=1 và $\dfrac{a}{1-a}$+$\dfrac{b}{1-b}$+$\dfrac{c}{1-c}$ = $\dfrac{3}{2}$ . Chứng minh: a=b=c.
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 2. $2a^2+a-2b^2-b=b^2\leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)=b^2$
Giờ ta chỉ việc chứng minh $(a-b, 2a+2b+1)=1$
Với $p$ là một số nguyên tố. Nếu $p\mid a-b$ thì ta có $p\mid b$, suy ra $p\mid a$, suy ra $p\nmid 2(a+b)+1$. Do đó ta có điều phải chứng minh.
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 4.
(a) $a^4+4b^4=a^4+4b^4+4a^2b^2-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$
Để có $a^4+4b^4$ là số nguyên tố thì $a^2-2ab+2b^2=1$ hoặc $a^2+2ab+2b^2=1$
(b) Với $n=0$ thì $G(n)=0\equiv 0\pmod{64}$
Giả sử $64|G(n=k)$ với $k$ là số tự nhiên. Với $n=k+1$ ta có:
$G(n=k+1)=3^{2k+3+2}+40k-27+40=9(3^{2k+3}+40k-27)-320k+256\equiv 0\pmod{64}$
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 5
(a) $abc\mid (ab-1)(bc-1)(ca-1)\leftrightarrow abc\mid (abc)^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ca-1$
Suy ra $abc\mid ab+bc+ca-1$ suy ra $ab+bc+ca-1= p. abc$ với $p$ là số nguyên dương.
$3abc\ge ab+bc+ca>ab+bc+ca-1=p.abc$ hay $p<3$ hay $p=1, p=2$
 
E

eye_smile

1,

$\dfrac{1}{1+a}=1-\dfrac{1}{1+b}+1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c} \ge \dfrac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự, đc:

$\dfrac{1}{1+b} \ge \dfrac{2\sqrt{ac}}{\sqrt{(a+1)(c+1)}}$

$\dfrac{1}{1+c} \ge \dfrac{2\sqrt{ba}}{\sqrt{(b+1)(a+1)}}$

Nhân theo vế ,đc đpcm.
 
H

hien_vuthithanh

5/

b) Cho a+b+c=1 và $\dfrac{a}{1-a}$+$\dfrac{b}{1-b}$+$\dfrac{c}{1-c}$ = $\dfrac{3}{2}$ . Chứng minh: a=b=c.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

$\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}+\dfrac{c}{1-c}$

=$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$

=$\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge \dfrac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}\ge \dfrac{3}{2}$

\Rightarrow $VT\ge VP$

\Rightarrow Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c$

\Rightarrow ◘
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 3.
$x^2+2y^2+3xy-2x-4y+3=(x+y)^2+y(x+y)-2(x+2y)+3=(x+y-2)(x+2y)+3$
Do đó ta có phương trình tương đương với: $(x+y-2)(x+2y)=-3$
Phương trình ước số.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom