[Toán 9] Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá lớp 9 môn Toán năm 2010-2011

[conami]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài IV:
Cho (O) và dây cung AB cố định. P là điểm nằm trên đoạn AB (P khác A,B và trung điểm AB). Đường tròn (C) đi qua P và tiếp xúc (O) tại A,Đường tròn (D) đi qua P và tiếp xúc (O) tại B. 2 đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là N
a) Chứng minh [TEX]\widehat{ANP} = \widehat{BNP}[/TEX] và 4 điểm C,N,O,D cùng nằm trên 1 đường tròn
b) Chứng minh trung trực của ON luôn đi qua 1 điểm cố định khi P thay đổi trên AB (bài này tớ làm điểm cố định là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB)
Bài V:
a) Cho các số tự nhiên dương [TEX]a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{45}[/TEX] thoả mãn [TEX]a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{45}\leq130[/TEX]. Gọi [TEX]d_{j} = a_{j+1} - a_{j}[/TEX] với j=1,2,3...44 . Chứng minh có ít nhất 1 hiệu trong 44 hiệu trên xuất hiện ít nhất 10 lần
b) Cho các số dương a,b,c thoả mãn
[TEX]\sqrt{a^{2} + b^{2}}+\sqrt{b^{2} + c^{2}}+\sqrt{c^{2} + a^{2}} = \sqrt{2011}[/TEX]
Chứng minh
[TEX]\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} + \frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{sqrt{2011}}{2\sqrt{2}[/TEX]

 

[conami]

Post nốt 3 bài còn lại. 3 bài này khá dễ. Mấy bạn làm giúp tớ bài V ý 1 đi. bài đó tớ xài phản chứng nhưng mà chưa chắc chắn lắm

Bài I:
1) Chứng minh phương trình [TEX]x^{2} -2mx + 2m-1 =0[/TEX] luốn có 2 nghiệm x1 , x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của [TEX]P=\frac{2x_{1}x_{2} +3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2(1 + x_{1}x_{2})[/TEX]
2) a) Cho a,b,c là các số hữu tỉ thoả mãn [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}[/TEX]. CHứng minh rằng [TEX]\sqrt{a^{2} +b^{2} +c^{2} [/TEX] là 1 số hữu tỉ
b) Cho x,y,z là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh [TEX]\sqrt{\frac{1}{(x-y)^{2}}+ \frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}}[/TEX] là một số hữu tỉ
Bài II
1) Giải phương trình [TEX](\frac{x}{x+1})^{2} + (\frac{x}{x-1})^{2} = \frac{10}{9}[/TEX]
2) Giải hệ phương trình
[TEX]x^{2} + x + \frac{1}{y}(1+\frac{1}{y}) = 4[/TEX]
[TEX]x^{3} +\frac{1}{y^{3}}+ \frac{x^{2}}{y} + \frac{x}{y^{2}} = 4[/TEX]
Bài III
CHo tam giác đều ABC. D,E nằm trên cạnh AC,AB sao cho diện tích tứ giác ADPE và diện tích tam giác BPC bằng nhau. Tính [TEX]\widehat{BPE}[/TEX]

 

[conami]

b) Cho các số dương a,b,c thoả mãn
[TEX]\sqrt{a^{2} + b^{2}}+\sqrt{b^{2} + c^{2}}+\sqrt{c^{2} + a^{2}} = \sqrt{2011}[/TEX]
Chứng minh
[TEX]\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} + \frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{sqrt{2011}}{2\sqrt{2}[/TEX]

Bài này đã từng có trên Toán tuổi thơ số 96. Chỉ khác mỗi số
Đặt [TEX]\sqrt{a^{2} + b^{2}} = z[/TEX] ; [TEX]\sqrt{b^{2} + c^{2}} = x[/TEX]; [TEX]\sqrt{c^{2} + a^{2}} = y[/TEX]
Ta có:
[TEX]y^{2} + z^{2} - x^{2} = 2a^{2}[/TEX] và [TEX]2x^{2} = 2(b^{2} + c^{2}) \geq(b+c)^{2}[/TEX]
=> [TEX]\frac{a^{2}}{b+c} = \frac{y^{2} + z^{2} - x^{2}}{2(b+c)} \geq \frac{y^{2} + z^{2} - x^{2}}{2\sqrt{2}x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{y^{2}}{x} + \frac{z^{2}}{x} + x) = \frac{1}{2\sqrt{2}}((\frac{y^{2}}{x} + x) +(\frac{z^{2}}{x} + x) - 3x) \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(2y + 2z - 3x) [/TEX]
Tương tự : [TEX]\frac{b^{2}}{c+a} \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(2z + 2x - 3y)[/TEX]
[TEX]\frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(2x + 2y - 3z)[/TEX]
Cộng theo vế 3 bđt trên suy ra ... => ĐPCM
Dấu "=" <=> .....

 

[asroma11235]

2)a)[TEX]a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)[/TEX] (*)
mặt khác: [TEX]2(ab+bc+ac)=\frac{2(ab+bc+ac).abc}{abc}[/TEX]=2[TEX](\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c})[/TEX].abc=4ab
Thay vào (*) ta dc: [TEX]a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc=(a-b+c)^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\sqrt[]{a^2+b^2+c^2}[/TEX]=[TEX]\sqrt[]{(a-b+c)^2}[/TEX]= trị tuyệt đối của a-b+c là số hữu tỉ (tớ ko bik viết dấu trị tuyệt đối ) )
b)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c,ta có:
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{(y-z)^2}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{(z-x)^2}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{a^2}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b^2}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c^2}[/TEX]
=[TEX](\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c})[/TEX]-2.[TEX](\frac{a+b+c}{abc})[/TEX]
Lại có:a+b+c=0
\Rightarrow [TEX]\sqrt[]{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}[/TEX]= trị tuyệt đối của[TEX]\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c}[/TEX]=trị tuyệt đối của [TEX]\frac{1}{x-y}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{y-z}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{z-x}[/TEX] là số hữu tỉ!!!

 

[0915549009]

b) Cho các số dương a,b,c thoả mãn
[TEX]\sqrt{a^{2} + b^{2}}+\sqrt{b^{2} + c^{2}}+\sqrt{c^{2} + a^{2}} = \sqrt{2011}[/TEX]
Chứng minh
[TEX]\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} + \frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{sqrt{2011}}{2\sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\sum \sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{2}(a+b+c) \Rightarrow \sqrt{\frac{2011}{2}} \geq a+b+c[/TEX]
[TEX] \sum \sqrt{a^2+b^2} \leq \sqrt{6(a^2+b^2+c^2)} \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{2011}{6}[/TEX]
[TEX]chebyshev \Rightarrow \frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} + \frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}) \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{2(a+b+c)} \geq \frac{sqrt{2011}}{2\sqrt{2}[/TEX]

Mọi người xem có đúng ko

P/s: Cho tớ hỏi, thi tỉnh thì BĐT chebyshev có phải CM k ((

 

[conami]

Bài V:
a) Cho các số tự nhiên dương [TEX]a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{45}[/TEX] thoả mãn [TEX]a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{45}\leq130[/TEX]. Gọi [TEX]d_{j} = a_{j+1} - a_{j}[/TEX] với j=1,2,3...44 . Chứng minh có ít nhất 1 hiệu trong 44 hiệu trên xuất hiện ít nhất 10 lần

Hok bạn nào giải bài này thì tớ post cách của tớ nhá:
vì[TEX]0<a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{45}\leq130[/TEX] nên [TEX]a_{45}- a_{1} <130 (1)[/TEX]
Giả sử không có hiệu nào trong 44 hiểu xuất hiện ít nhất 10 lần => Mỗi hiệu xuất hiện không quá 9 lần
Giả sử hiệu 1;2;3;4 mỗi hiệu xuất hiện 9 lần và hiệu 5 xuát hiện 8 lần. Như thế thì
[TEX]d_{1}+d_{2}+...+d_{44} = a_{45} - a_{1}[/TEX]
=>[TEX](1+2+3+4).9 + 5.8 = a_{45} - a_{1}[/TEX]
=>[TEX]130 = a_{45} - a_{1} (2)[/TEX]
Nếu các hiệu không xuất hiện như trên thì [TEX] a_{45} - a_{1} >130 (3)[/TEX]
Từ (1)(2)(3) => giả sử sai => ĐPCM

Có chỗ nào hok ổn hok các bạn

 

[th1104]

Bài này đã từng có trên Toán tuổi thơ số 96. Chỉ khác mỗi số
Đặt [TEX]\sqrt{a^{2} + b^{2}} = x[/TEX] ; [TEX]\sqrt{b^{2} + c^{2}} = y[/TEX]; [TEX]\sqrt{c^{2} + a^{2}} = z[/TEX]
Ta có:
[TEX]y^{2} + z^{2} - x^{2} = 2a^{2}[/TEX] và [TEX]2x^{2} = 2(b^{2} + c^{2}) \geq(b+c)^{2}[/TEX]
=> [TEX]\frac{a^{2}}{b+c} = \frac{y^{2} + z^{2} - x^{2}}{2(b+c)} \geq \frac{y^{2} + z^{2} - x^{2}}{2\sqrt{2}x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{y^{2}}{x} + \frac{z^{2}}{x} + x) = \frac{1}{2\sqrt{2}}((\frac{y^{2}}{x} + x) +(\frac{z^{2}}{x} + x) - 3x) \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(2y + 2z - 3x) [/TEX]
Tương tự : [TEX]\frac{b^{2}}{c+a} \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(2z + 2x - 3y)[/TEX]
[TEX]\frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(2x + 2y - 3z)[/TEX]
Cộng theo vế 3 bđt trên suy ra ... => ĐPCM
Dấu "=" <=> .....

[TEX]x^{2} + z^{2} - y^{2} = 2a^{2}[/TEX] và [TEX]2y^{2} = 2(b^{2} + c^{2}) \geq(b+c)^{2}[/TEX]

 

[th1104]

Bạn làm sai rồi. phải thế này mới đúng

[TEX]y^{2} + z^{2} - x^{2} = 2a^{2}[/TEX] và [TEX]2y^{2} = 2(b^{2} + c^{2}) \geq(b+c)^{2}[/TEX]
=> [TEX]\frac{a^{2}}{b+c} = \frac{y^{2} + z^{2} - x^{2}}{2(b+c)} \geq \frac{y^{2} + z^{2} - x^{2}}{2\sqrt{2}y} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{z^2}{y} - \frac{x^{2}}{y} + y)[/TEX]

= [TEX] \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{z^2}{y} +y - \frac{x^{2}}{y} -y + y)[/TEX]

\geq [TEX]\frac{1}{2\sqrt{2}}(2z - 2x +y)[/TEX]

[TEX] \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{z^2}{y} +y - \frac{x^{2}}{y} -y + y)[/TEX]

\geq [TEX]\frac{1}{2\sqrt{2}}(2z - 2x +y)[/TEX]

nhưng mà nếu làm theo cách này cái chỗ áp dụng cosi kia mình thấy thế nào ý.

mấy bạn xem hộ mình. thanks

 

[conami]

Xem đáp án đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá năm học 2010-2011 tại trang web dethi. violet . vn
Mục toán lớp 9, tên bài viết là đề HSG lớp 9 thanh hoá 2011
Thông cảm nhé, link bị lỗi

 

[th1104]

mình post lại nha.

tại đây

còn đây là phần mà mình thấy rất hay có tổng hợp, số phân loại... các bạn có thể tham khảo

tại đây

 

[xuhoatramy]

Xem đáp án đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá năm học 2010-2011 tại : tại
http://*****************/present/show/entry_id/5278466
Các bạn cho ý kiến nhá

Ko vào được bạn ạ.Bạn thi tốt hok???
Ai làm câu b bài 4 giúp mình với!!!!!

 

[conami]

Ko vào được bạn ạ.Bạn thi tốt hok???
Ai làm câu b bài 4 giúp mình với!!!!!

Câu 4b chính xác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (mà sao trong đáp án lại ghi là tâm đường tròn đi qua 4 điểm O,N,C,D nhỉ ????). Cái này thì khi chứng minh câu a chắc cậu đã chứng minh cho 4 điểm A,B,O,N nằm trên 1 đường tròn zồi còn gì??????

Cách làm của tớ nè:
a)Xét PA<PB
Chứng minh [TEX]\widehat{ANP} = \widehat{BNP}[/TEX] rất dễ, dùng góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn cung là OK
Ta có:
[TEX]\widehat{AOB} = \widehat{ACP} = 2\widehat{ANP} = \widehat{ANB}[/TEX]
=> tứ giác ANOB nội tiếp được => [TEX]\widehat{NAO} = \widehat{NBO}[/TEX]
=> [TEX]2\widehat{NAO} = 2\widehat{NBO}[/TEX]
=> [TEX]\widehat{NCO} = \widehat{NDO}[/TEX]
=> tứ giác ONCD nội tiếp (ĐPCM)
Trường hợp PA>PB chứng minh tương tự
b) Theo câu a thì tứ giác ANOB nội tiệp nên trung trực ON sẽ đi qua tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác AOB là điểm cố định khi P thay đổi trên AB

 

[conami]

[TEX] \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{z^2}{y} +y - \frac{x^{2}}{y} -y + y)[/TEX]

\geq [TEX]\frac{1}{2\sqrt{2}}(2z - 2x +y)[/TEX]

nhưng mà nếu làm theo cách này cái chỗ áp dụng cosi kia mình thấy thế nào ý.

mấy bạn xem hộ mình. thanks

Đúng rồi còn gì cậu, áp dụng bất đẳng thứ côsi ta có
[TEX]\frac{z^2}{y} + y \geq 2z[/TEX]
[TEX]\frac{x^{2}}{y} + y \geq 2x[/TEX]