[Toán 9] Đề thi hsg QB 08-09

Status
Không mở trả lời sau này.
H

hoa_giot_tuyet

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Học cũng gần xong chương trình lớp 9 nên rồi đánh liều lôi đề hsg ra làm thử =))

Bài 1. Giải phương trình [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = 2[/TEX]

Bài 2. Cho [TEX]M = x^2+y^2+2z^2+t^2[/TEX] với x,y,z,t là số tự nhiên. Tìm Max của M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t. Biết x,y,z,t thoả mãn hệ phương trình

[TEX] \left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2+t^2 = 21 \\ x^3+3y^2+4z^2 = 101 \end{array} \right[/TEX]

Bài 3. a) Cho a+b+c = 3 C/m [TEX]a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3 [/TEX]

b) HÌnh, dễ quá ko post nữa :))

Bài 4. Tìm số điện thoại một cơ quan, biết nó có dạng [TEX]\overline{382aabb}[/TEX] trong đó [TEX]\overline{aabb}[/TEX] là số chính phương có 4 chữ số

Bài 5.; Trong tam giác có 1 cạnh không đổi và góc đối diện với cạnh đó ko đổi, hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất
 
T

thienlong_cuong

Học cũng gần xong chương trình lớp 9 nên rồi đánh liều lôi đề hsg ra làm thử =))

Bài 3. a) Cho a+b+c = 3 C/m [TEX]a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3 [/TEX]

Thấy bài 3 dễ quá nên chém !
[TEX]a^4 + a^4 + a^4 + 1 \geq 4\sqrt[4]{a^12} = 4a^3[/TEX]

[TEX]b^4 + b^4 + b^4 + 1 \geq 4b^3[/TEX]

[TEX]c^4 + c^4 + c^4 + 1 \geq 4c^3[/TEX]

Cộng từng vế

[TEX]3(a^4 + b^4 + c^4) + 3 \geq 4(a^3 + b^3 + c^3)[/TEX] (*)

Mặt khác ẹc nhái gà có thể dễ chứng minh đc [TEX]a^3 + b^3 + c^3 \geq 3[/TEX] (*)(*)

Từ (*) ; (*)(*) \Rightarrow đpcm !
 
Last edited by a moderator:
L

linhhuyenvuong

Bài 3. a) Cho a+b+c = 3 C/m [TEX]a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3 [/TEX]
________________
[TEX](a^4+b^4+c^4)-(a^3+b^3+c^3)+3-(a+b+c)[/TEX]
[TEX]=a^3(a-1)+b^3(b-1)+c^3(c-1)-(a-1)-(b-1)-(c-1)[/TEX]
[TEX]=(a-1)(a^3-1)+(b-1)(b^3-1)+(c-1)(c^3-1)[/TEX]
[TEX]=(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)+(c-1)^2(c^2+c+1) \geq 0[/TEX]
\Rightarrow
[TEX](a^4+b^4+c^4)-(a^3+b^3+c^3)+3-(a+b+c) \geq0[/TEX]
[TEX]a+b+c=3[/TEX]
\Rightarrow
[TEX]a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3[/TEX]
 
T

thienlong_cuong

Bài 4. Tìm số điện thoại một cơ quan, biết nó có dạng [TEX]\overline{382aabb}[/TEX] trong đó [TEX]\overline{aabb}[/TEX] là số chính phương có 4 chữ số

Thích số học từ nhỏ
[TEX]\overline{abcd} = a.1100 + b.11 = 11(100a + b)[/TEX]

Do abcd là số chính phương
[TEX] \Rightarrow 100a + b[/TEX] chia hết 11

[TEX]\Rightarrow a + b[/TEX] chia hết 11

Mặt khác [TEX]b = {4 ; 5 ; 6 ; 9)[/TEX] (do [TEX]1 \leq a , b \leq 9[/TEX])

Xét \Rightarrow OK thui !
 
T

thienlong_cuong

Học cũng gần xong chương trình lớp 9 nên rồi đánh liều lôi đề hsg ra làm thử =))

Bài 1. Giải phương trình [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = 2[/TEX]

ec : Cho xin phép use BDT (cần biện luận trước khi dùng nhưng ko biết làm thế nào)

[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} \geq \frac{4}{x + \sqrt{2 - x^2}}\geq \frac{8}{2x + 3 - x^2} = \frac{8}{4 - (x -1)^2} \geq \frac{8}{4} = 2[/TEX]

Min 2 \Leftrightarrow x = 1 OK men !

p/s : Quá dễ dàng để tìm sơ hở ở trong bài làm của mình ! Mà thui ! Cứ post lên ai dòm đc thì dòm! hjhj
 
Last edited by a moderator:
B

bboy114crew

ec : Cho xin phép use BDT (cần biện luận trước khi dùng nhưng ko biết làm thế nào)

[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} \geq \frac{4}{x + 2\sqrt{2 - x^2}} = \frac{8}{2x + 3 - x^2} = \frac{8}{4 - (x -1)^2} \geq \frac{8}{4} = 2[/TEX]

Min 2 \Leftrightarrow x = 1 OK men !

p/s : Quá dễ dàng để tìm sơ hở ở trong bài làm của mình ! Mà thui ! Cứ post lên ai dòm đc thì dòm! hjhj
Sơ hở thì ai cũng nhìn ra!
Anh nghĩ do cái sơ gở đó mà bài này của em bị phá sản em thử xem lại coi!:D
 
N

nganltt_lc

Bài 1. Giải phương trình [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = 2[/TEX]

[TEX]DKXD \ : \ x \ \neq \ 0 \ ; \ - 2 \ < \ x \ < \ 2[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ 2 \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1}{x} \ - \ 1 \ + \ \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} + \ \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ 1 \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{x-\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2-x^2}} \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{x^2-2+x^2}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)}\ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{2\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)}\ = \ 0[/TEX]

Đặt x - 1 làm nhân tử chung rồi dễ chứng minh nhân tử còn lại khác 0

(Cách này dài hơn và không hay bằng cách trên nhưng đây là cách cơ bản ;)) )
 
B

bboy114crew

[TEX]DKXD \ : \ x \ \neq \ 0 \ ; \ - 2 \ < \ x \ < \ 2[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ 2 \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1}{x} \ - \ 1 \ + \ \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} + \ \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ 1 \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{x-\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2-x^2}} \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{x^2-2+x^2}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)}\ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{2\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)}\ = \ 0[/TEX]

Đặt x - 1 làm nhân tử chung rồi dễ chứng minh nhân tử còn lại khác 0

(Cách này dài hơn và không hay bằng cách trên nhưng đây là cách cơ bản ;)) )
Cậu thử làm típ xem!:confused:
..............................................................
 
T

tuyn

Bài 1. Giải phương trình [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = 2[/TEX]
Dùng cách này có được không nhỉ
ĐK: [TEX]x \in (-2;2)\{0}[/TEX]
Đặt: [TEX]\left{\begin{a=x}\\{b=\sqrt{2-x^2} \Rightarrow \left{\begin{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2}\\{a^2+b^2=2}[/TEX]
Đây là hệ đối xứng loại 1 mà
 
D

duynhan1

Học cũng gần xong chương trình lớp 9 nên rồi đánh liều lôi đề hsg ra làm thử =))

Bài 1. Giải phương trình [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = 2[/TEX]
Điều kiện :
[TEX]\left{ x \not= 0 \\ |x| \le \sqrt{2} [/TEX]

[TEX]\left{ a = x \\ b = \sqrt{2-x^2} [/TEX]. Ta có :
[TEX]\left{ a^2 + b^2 = 2 \\ a + b = 2ab [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ (a+b)^2 - (a+b) = 2 \\ a+b = 2ab [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ a+b = 2ab \\ \left[ a+b = -1 \\ a+b = 2[/TEX]
 
N

nganltt_lc

[TEX]DKXD \ : \ x \ \neq \ 0 \ ; \ - 2 \ < \ x \ < \ 2[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = 2 \ \ \ (*) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ 2 \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1}{x} \ - \ 1 \ + \ \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} + \ \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} \ - \ 1 \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{x-\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2-x^2}} \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{x^2-2+x^2}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)}\ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{1-x}{x} \ + \ \frac{1-x}{\sqrt{2-x^2}} \ + \ \frac{2\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)}\ = \ 0[/TEX]

Đặt x - 1 làm nhân tử chung rồi dễ chứng minh nhân tử còn lại khác 0

(Cách này dài hơn và không hay bằng cách trên nhưng đây là cách cơ bản ;)) )

Cậu thử làm típ xem!:confused:
..............................................................

Mình làm tiếp

[TEX]\Leftrightarrow \ \left(1-x \right)\left[\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}-\frac{2\left(x+1 \right)}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)} \right]\ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \left[\begin{x \ = \ 1 \ \ (t/m)}\\{\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}-\frac{2\left(x+1 \right)}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)} \ = \ 0 \ \ (**) } [/TEX]

Từ ( * ) và (**) ta có :

[TEX]\frac{2\left(x+1 \right)}{\sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right)}=2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ x+1 \ = \ \sqrt{2-x^2}\left(x+\sqrt{2-x^2} \right) \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \left(1-\sqrt{2-x^2} \right)\left(x+1+\sqrt{2-x^2} \right)=0[/TEX]

%%- Mình làm đến đây thôi.Giải nốt cái phương trình tích này là xong rồi.
Không biết có được ko.
 
H

hoa_giot_tuyet

Bài 5.; Trong tam giác có 1 cạnh không đổi và góc đối diện với cạnh đó ko đổi, hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất

Còn bài này ai giúp em với ạ :(

Giả sử đó là tam giác ABC có BC và góc BAC ko đổi đi ạ

A di chuyển trên cung chứa góc BAC dựng trên BC

Bây giừo lý luận như thế nà để AB+AC lớn nhất ạ

p/s: cũng có cái ý tưởng nhưng mà chả bik đúng hay sai :|
 
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom