[Toán 9] Đề thi chọn đội tuyển lần 1 - Huyện Chí Linh - Hải Dương

[vansang02121998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhìn chung đề này khá dễ, post lên cho mọi người cùng tham khảo

Câu 1:

a) Cho $a+b=1$. Chứng minh rằng

$\dfrac{a}{b^3-1}-\dfrac{b}{a^3-1}=\dfrac{2(b-a)}{a^2b^2+3}$

b) Cho $a>1;b>1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$. Chứng minh

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}$

Câu 2:

a) Cho các số nguyên $a;b \in Z$ và $3a^2+10ab-8b^2 \vdots 49$. Chứng minh $2a+b \vdots 7$

b) Giải phương trình

$\sqrt{x^2+3x-4}-\sqrt{x^2-5x+4}=x-1$

Câu 3:

a) Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Chứng minh

$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$

b) Tìm các số hữu tỉ $a;b$ biết $\sqrt{3}-2$ là một nghiệm của phương trình

$x^3+ax+b=0$

Câu 4: Cho đường tròn $(O)$, điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $MA;MB$ với đường tròn ( $A;B$ là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính AOD. Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $MD$ cắt đường thẳng $AB$ tại $E$, $MO$ cắt $AB$ tại $H$, $MD$ cắt đường tròn tại $C$ khác $D$. Chứng minh rằng

a) $MB.BE=BD.BO$

b) $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$

c) $\widehat{MHC}=\widehat{MDO}$

Câu 5: Cho $x;y;z$ là các số thực thỏa mãn $x^4+y^4+z^4=3$. Tìm giá trị lớn nhất của

$P=x^2(x+y)+y^2(y+z)+z^2(z+x)$

 

[nguyenbahiep1]

câu 2 ý b

[laTEX]\sqrt{(x-1)(x+4)} - \sqrt{(x-1)(x-4)} = x- 1 \\ \\ txd: x \geq 4 , x \leq -4 \\ \\ TH_1: x = 1 \\ \\ TH_2: \sqrt{x+4} - \sqrt{x-4} = \sqrt{x-1} \\ \\ x + 4 = x-4 +x-1 + 2.\sqrt{x^2 -5x+4} \\ \\ 9 -x = 2.\sqrt{x^2 -5x+4} \\ \\ 81 -18x + x^2 = 4x^2 -20x + 16 \\ \\ x = 5 , x = - \frac{13}{2}[/laTEX]

 

[minhtuyb]

Câu 5: Cho $x;y;z$ là các số thực thỏa mãn $x^4+y^4+z^4=3$. Tìm giá trị lớn nhất của

$P=x^2(x+y)+y^2(y+z)+z^2(z+x)$

Đề này thì Sang làm hết chứ nhỉ ? ^_^
---
$$P=x^3+y^3+z^3+x^2y+y^2z+z^2x$$
Theo $AM-GM$ 4 số:
$$x^4+x^4+x^4+1\ge 4|x|^3\ge 4x^3\\y^4+y^4+y^4+1\ge 4|y|^3\ge 4y^3\\z^4+z^4+z^4+1\ge 4|z|^3\ge 4z^3\\\\x^4+x^4+y^4+1\ge 4|x^2y|\ge 4x^2y\\y^4+y^4+z^4+1\ge 4|y^2z|\ge 4y^2z\\z^4+z^4+x^4+1\ge 4|z^2x|\ge 4z^2x$$
Cộng lại ta có:
$$6(x^4+y^4+z^4)+6\ge 4P\\ \Leftrightarrow P\le 6$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
Vậy $maxP=6$ khi $x=y=z=1\ \square$

 

[vansang02121998]

Bài cuối này em làm cách khác.

- Áp dụng Bunhia

$P^2=[x^2(x+y)+y^2(y+z)+z^2(z+x)] \le (x^4+y^4+z^4)[(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2]$
$\Leftrightarrow P^2 \le 6(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz) \le 12(x^2+y^2+z^2)$

mà $2(x^2+y^2+z^2) \le x^4+y^4+z^4+3 = 6 \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \le 3$

$\Rightarrow P^2 \le 36$

$\Rightarrow |P| \le 6 \Rightarrow P \le 6$