[Toán 9]Đề HSG sáng nay mình vừa thi.

[vodanhlangtu44f7]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người tham khảo nhé.tiện thể ai làm đc bài nào thì làm nhá!!!Đề hoàn chỉnh luôn
Bài 1: (1 đ)
Cho a=[TEX]\frac{\sqrt[]{2}-1}{2}[/TEX];b=[TEX]\frac{\sqrt[]{2}+1}{2}[/TEX].Tính [TEX]a^7+b^7[/TEX].
Bài 2: (2,5 đ)
a)Giải pt nghiệm nguyên:[TEX]x^2+y^2+z^2=7+8xyz[/TEX]
b)Cho n là số tự nhiên chẵn.CMR:A=[TEX]20^n+16^n-3^n-1[/TEX] chia hết cho 323.
Bài 3: (2,5 đ)
a)Giải hệ pt [TEX] \left\{ \begin{array}{l} (x+y)^2+\frac{4xy}{x+y} =1 \\ x-y+\sqrt[]{x+y} =1 \end{array} \right [/TEX]
b)Giải pt: [TEX]3x^3-17x^2-8x+9+\sqrt[]{3x-2}-\sqrt[]{7-x}[/TEX]
Bài 4: (2,5 đ)
Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O,đường kính BC = 2R.Lấy điểm M đối xứng với A qua B.Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên BC và điểm I là trung điểm HC.
a)CMR: MH vuông góc với AI.
b)Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa M và F).Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại G (G khác A).CMR tổng bình phương độ dài các cạnh của tứ giác AEGF ko đổi.
Bài 5: (1,5 đ)
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xyz=1.Tìm max của biểu thức:
A=[TEX]\frac{\sqrt[]{a+x^2}+\sqrt[]{1+y^2}+\sqrt[]{1+z^2}}{x^2+y^2+z^2}[/TEX]
..............................HẾT...................................
Cán bộ coi thi ko giải thích gì thêm.

 

[harrypham]

2. b) Phân tích [TEX]323=17.19[/TEX].
Do n chẵn nên ta đặt [TEX]n=2k \ ( k \in \mathbb{N} )[/TEX].
Ta có [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1[/TEX].

+ Ta có

[TEX]\begin{array}{l} 20 \equiv 1 \pmod{19} \Rightarrow 20^{2k} \equiv 1 \pmod{19} \\ 16 \equiv -3 \pmod{19} \Rightarrow 16^{2k} \equiv (-3)^{2k}=3^{2k} \pmod{19} \\ 3^{2k} \equiv 3^{2k} \pmod{19} \\ 1 \equiv 1 \pmod{19} \end{array}[/TEX]

Do đó [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1 \equiv 1+3^{2k}-3^{2k}-1= \fbox{0} \pmod{19}[/TEX]

+ Ta có

[TEX]\begin{array}{l} 20 \equiv -3 \pmod{17} \Rightarrow 20^{2k} \equiv (-3)^{3k}=3^{2k} \pmod{17} \\ 16 \equiv -1 \pmod{17} \Rightarrow 16^{2k} \equiv 1 \pmod{17} \\ 3^{2k} \equiv 3^{2k} \pmod{17} \\ 1 \equiv 1 \pmod{17} \end{array}[/TEX]

Do đó [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1 \equiv 3^{2k}+1-3^{2k}-1 = \fbox{0} \pmod{17}[/TEX]

Mà [TEX](17,19)=1[/TEX]. Vậy [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1 \ \vdots 323[/TEX].

 

[thutuanprocute]

de hsg

bai1:-*
ta co: a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b)=((a+b)^3-3ab(a+b))((a^2+b^2)^2-2(ab)^2-(ab)^3(a+b)=((

)^3-3(1/4)

)((3/2)^2-2(1/16))-(1/4)^3(a+b)=

(2-3/4)(17/8)-1/64(

)=

(169/64)
bai2@-)
a)a)ta co :

suy ra ve trai le suy ra trong 3 so x^2,y^2,z^2 co 2 kha nang xay ra:
neu 3 so do deu le thi A=x^2+y^2+z^2 đồng dư 3 mod 8;ma vp đồng dư 7 mod 8 (vo li)
neu trong 3 so do co 2 so chan mot so le thi a=x^2+y^2+z^2 đồng dư 1mod 4; ve trai đồng dư 3 mod 4(vo li). vay phuong trinh vo nghiem

b) ta co:323=17*19;A=

=(20^n-3^n)(16^n-1); vi n chãn suy ra A=(17k)(17m)(k;m€ N) suy ra A chia het cho 17
A=(20^n-1)(16^n-3)=19u19v(do n chan) suy ra A chia het cho 19
ma (17,19)=1 suy ra A chia het cho 323

 

[son9701]

Một cách giải khác cho bài 1:
Ta có:[tex]a+b=\sqrt{2};ab=\frac{1}{2} \Rightarrow a;b t/m: X^2-\sqrt{2}X+\frac{1}{2}=0[/tex](theo Viet đảo)
Bởi vậy ta có thể lập công thức truy hồi: [tex]S_{n+2}-\sqrt{2}S_{n+1}+\frac{S_n}{2}=0[/tex](với [TEX]S_n=a^n+b^n[/TEX])
Hình như xong rồi thì phải

 

[vngocvien97]

Bạn ghi rõ lại đề bài 5 đi hình như có sự sai xót.&gt;-

 

[linhhuyenvuong]

Bài 5: (1,5 đ)
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xyz=1.Tìm max của biểu thức:
[TEX]A=\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}}{x^2+y^2+z^2}[/TEX]

[TEX]\sqrt{1+x^2}.\sqrt{2} \leq\frac{3+x^2}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\sqrt{1+x^2} \leq \frac{3+x^2}{2\sqrt{2}}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]A \leq \frac{x^2+y^2+z^2+6}{2\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2} =\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2} [/TEX]

[TEX]3(x^2+y^2+z^2)\geq(x+y+z)^2 \geq9 (xyz=1)[/TEX]

\Rightarrow[TEX]A \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}[/TEX]
''=''\Leftrightarrowx=y=z=1