[Toán 9] Đề chuyên của THPT chuyên KHTN

[khanhtoan_qb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:
Với số a, có [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a
chứng minh : với mọi số nguyên dương n thì:
[TEX]n + [\sqrt[3]{n - \frac{1}{27}} + \frac{1}{3}]^2[/TEX] không viết được dưới dạng lập phương của 1 số tự nhiên
Câu 2:
x,y,z dương và[TEX] xy + yz + xz = 5[/TEX]
Tìm GTNN:
[TEX]P = \frac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6(x^5 + 5)} + \sqrt{6(y^2 + 5)} + \sqrt{z^2 + 5}}[/TEX]
p/s Mong anh bìboy giúp à )

 

[minhtuyb]

1/ Đặt $[\sqrt[3]{n-\frac{1}{27}}-\frac{1}{3}]=a$. Do $n\geq 1\Rightarrow a\geq 1$. Theo định nghĩa về phần nguyên, ta có:
$$a\leq \sqrt[3]{n-\frac{1}{27}}-\frac{1}{3}<a+1\\ \Leftrightarrow a-\frac{1}{3}\leq \sqrt[3]{n-\frac{1}{27}}<a+\frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow (a-\frac{1}{3})^3\leq n-\frac{1}{27}<(a+\frac{2}{3})^3\\ n\Leftrightarrow a^2-a+\frac{a}{3}-\frac{1}{27}\leq n-\frac{1}{27}<a^3+2a^2+\frac{4}{3}a+\frac{8}{27}\\ \Leftrightarrow a^3+\frac{a}{3}\leq n+a^2<a^3+3a^2+\frac{4}{3}a+\frac{1}{3}(*)$$
Vì $a\geq 1\Rightarrow a^3+\frac{a}{3}>a^3 \ và \ a^3+3a^2+\frac{4}{3}a+\frac{1}{3}<(a+1)^3$. Vậy từ $(*)$ suy ra:
$$a^3<n+a^2<(a+1)^3$$
Vậy $n+[\sqrt[3]{n-\frac{1}{27}}-\frac{1}{3}]^2$ bị kẹp giữa hai số lập phương đúng liên tiếp nên không thể biểu diễn đc dưới dạng lập phương của một số nguyên <Q.E.D>

Câu 2 sai đề đó, ông làm không ra là phải =)). Lúc đầu tui cũng nhìn cái bài đó thấy bế tắc. Sau này mới bít đề đúng là:
$$\displaystyle{P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}}$$
Tui tin với trình độ ông thì Cauchy tí là xong bài này

 

[khanhtoan_qb]

Câu 2 í phái bín đổi 1 tí oy áp dụng Cô si chứ
thay 5 bằng xy + yz + xz rồi áp dụng cô si hi
p/s cách của ông phải như thế hay là cách khác

@minhtuyb: Ừ thì cách tui là như thế mà . Sau đó chọn điểm rơi, tách 6=2.3 cho phù hợp ^_^