[Toán 9] đại và hình

[vyshusi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)đã giải
Cho x;y>0 và x+y<1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=[TEX]\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy[/TEX]


2) a.Chứng minh: [TEX]x^4+y^4\geq\frac{(x+y)^4}{8}[/TEX]
b. Cho x>0, y>0 và x+y<1. Chứng minh:


3)Cho góc vuông xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A cố định, trên cạnh Oy lấy điểm M thay đổi. Vẽ hình vuông AMNP nằm trong góc xOy. Gọi I là giao điểm của AN và MP
a.Chứng minh: tứ giác AOMI là tứ giác nội tiếp
b. Tính diện tích AONP và diện tích AOMI, biết [TEX]\widehat{OAM}=30^o[/TEX],OA=a(a là độ dài cho trước
c.Khi điểm M di chuyển trên tia Oy tì các điểm N và P chuyển động trên đường nào?

 

[minhtuyb]

Bài 1:
a. Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số ta có:
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{x^4}{x^4+y^4}\ge \dfrac{4x}{\sqrt[4]{8(x^4+y^4)}}$$
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{y^4}{x^4+y^4}\ge \dfrac{4y}{\sqrt[4]{8(x^4+y^4)}}$$
Cộng vế với vế của 2 BĐT trên ta có ĐPCM
----
Có thể bạn sẽ đặt câu hỏi: Vì sao tìm ra cách như vậy? Nếu bạn tò mò và muốn biết thêm thì tìm hiểu thêm về BĐT Holder và cách c/m nó bằng Cauchy nhé ^_^

 

[vyshusi]

Bài 1:
a. Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số ta có:
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{x^4}{x^4+y^4}\ge \dfrac{4x}{\sqrt[4]{8(x^4+y^4)}}$$
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{y^4}{x^4+y^4}\ge \dfrac{4y}{\sqrt[4]{8(x^4+y^4)}}$$
Cộng vế với vế của 2 BĐT trên ta có ĐPCM
----
Có thể bạn sẽ đặt câu hỏi: Vì sao tìm ra cách như vậy? Nếu bạn tò mò và muốn biết thêm thì tìm hiểu thêm về BĐT Holder và cách c/m nó bằng Cauchy nhé ^_^

Bạn có thể làm rõ rằng hơn đc không?
Thực sự là mình không hiểu ý bạn?

 

[minhtuyb]

Bạn có thể làm rõ rằng hơn đc không?
Thực sự là mình không hiểu ý bạn?

Thật ra bài này là hệ quả của BĐT sau (một dạng của Holder):
Cho các số thực dương $a,b,c,d,m,n,x,y$ (thực cũng được, nhưng lấy dương để tiện cho trình bày), chứng minh rằng:
$$(a^4+b^4)(c^4+d^4)(m^4+n^4)(x^4+y^4)\ge (acmx+bdny)^4$$
---
Chứng minh:
$$\dfrac{a^4}{a^4+b^4}+\dfrac{c^4}{c^4+d^4}+\dfrac{m^4}{m^4+n^4}+\dfrac{x^4}{x^4+y^4}\ge \dfrac{4acmx}{\sqrt[4]{(a^4+b^4)(c^4+d^4)(m^4+n^4)(x^4+y^4)} }\\ \dfrac{b^4}{a^4+b^4}+\dfrac{d^4}{c^4+d^4}+\dfrac{n^4}{m^4+n^4}+\dfrac{y^4}{x^4+y^4}\ge \dfrac{4bdny}{\sqrt[4]{(a^4+b^4)(c^4+d^4)(m^4+n^4)(x^4+y^4)} }$$
Cộng vế với vế 2 BĐT trên ta có ĐPCM.
Bài toán đã cho là với trường hợp $a=b=c=d=m=n=1$

Với ý tưởng tương tự, bạn có thể c/m các BĐT sau:
$$+)(a^3+b^3)(x^3+y^3)(m^3+n^3)\ge (axm+byn)^3\\+)(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\ge (axm+byn+czp)^3\\ ...$$
Với các biến dương

*Và sẽ chế thêm được vài BĐT hệ quả như BĐT đầu bài ^_^:
$$+) 9(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)^3\\ +) x^3+y^3\ge \dfrac{(x+y)^3}{4}\\...$$
với các biến dương

 

[ooo_ooo_9889]

Bài 1 (mình có cách khác)
1/ ( [tex] x^2 + y^2 [/tex] )+ 4( [tex] x^2 [/tex] + [tex] y^2 [/tex] ) + 2/xy + 32xy - 4( [tex] x^2 [/tex] + [tex] y^2 [/tex] + 2xy) - 20xy
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số
1/ ( [tex] x^2 + y^2 [/tex] )+ 4( [tex] x^2 [/tex] + [tex] y^2 [/tex] ) \geq 4
2/xy + 32xy \geq 16
Có 4( [tex] x^2 [/tex] + [tex] y^2 [/tex] + 2xy = 4([tex] {x+y}^2 [/tex] ) \leq 4
1 \geq [tex] {x+y}^2 [/tex] \geq 4xy \Rightarrow 20xy \leq 20/4 =5
\Rightarrow A \geq 11
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=1/2

Cái / là phân số bạn nhé!

 

[vyshusi]

Bạn nào ơi! giúp mình bài hình đc không?
hai bài đại mình làm đc rồi
Tks sự giúp đỡ của các bạn nhiều lắm

mấy pro ơi! giải giúp mình bài hình đi! làm mãi mà không ra