[Toán 9] Đại số 9

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 phương trình: $x^2+ax+b=0$ và $x^2+bx+a=0$. Biết a,b là các số dương thoả mãn: $4(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}) > \frac{1}{ab}+\frac{16}{a^2b^2}$
Chứng minh rằng nếu phương trình này có nghiệm thì phương trình kia vô nghiệm và ngược lại

 

[lp_qt]

$(1): x^2+ax+b=0$ có $\Delta_1 =a^2-4b$

$(2): x^2+bx+a=0$ có $\Delta_2 =b^2-4a$

$4(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3})> \dfrac{1}{ab}+\dfrac{16}{a^2.b^2}$

\Leftrightarrow $\dfrac{4a^3+4b^3}{a^3.b^3}>\dfrac{a^2.b^2+16ab}{a^3.b^3}$

\Leftrightarrow $4a^3+4b^3 > a^2.b^2+16ab (a;b>0)$

\Leftrightarrow $(a^2-4b)(b^2-4a)<0$

\Leftrightarrow $\Delta _1.\Delta _2 <0$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}\Delta _1>0 & \\ \Delta _2<0 &
\end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix}\Delta _2>0 & \\ \Delta _1<0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

\Rightarrow đpcm