Toán [Toán 9] Cực trị

[Cầu Vồng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: [tex]a+b=4ab[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: [tex]a+b=4ab[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}[/tex]

Có [tex]4ab=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\geq \frac{1}{4}[/tex]
Có $\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4a^{2}+1}$
$=\frac{a^{2}}{4ab^{2}+a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}b+b}$
$\geq \frac{(a+b)^{2}}{4ab^{2}+a+4a^{2}b+b} $ ( BĐT Svacxo)
$=\frac{(a+b)^{2}}{(4ab+1)(a+b)}$
$=\frac{a+b}{4ab+1}$
$=\frac{4ab+1-1}{4ab+1}$
$=1-\frac{1}{4ab+1}$
$\geq 1-\frac{1}{4.\frac{1}{4}+1}$
$=\frac{1}{2}$ (đpcm)