[toán 9] cực trị

[sagacious]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho a,b,c >0 và a+b+c=1. c/m:
[TEX]\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{cb+a}}+ \frac{a+c}{\sqrt{ca+b}} \geq 3[/TEX]
2. cho [TEX]a^2 + b^2 +c^2 = 3[/TEX] tìm min;
[TEX]P= \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+ \frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+ \frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}[/TEX]

 

[tienqm123]

1, $\sqrt{ab+c} = \sqrt{ab+c(a+b+c)}= \sqrt{(a+c)(b+c)}$ . Tương tự ta có :
$VT = \sum \dfrac{a+b}{\sqrt{(b+c)(a+c)}} $
$ = \sum \dfrac{x}{\sqrt{yz}} (voi x+y+z=2)$
$ = \sum \dfrac{x^2}{\sqrt{xy}.\sqrt{xz}}$
$ \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sqrt{xy}.\sqrt{xz}+\sqrt{xy} \sqrt{yz}+\sqrt{xz}.\sqrt{yz}}$
$ = \dfrac{4}{\sqrt{xy}\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\sqrt{yz} + \sqrt{xz}.\sqrt{yz}} (1)$
$MS(1) \le \sqrt{(xy+yz+zx)^2} = xy+yz+zx \le \dfrac{4}{3}$
Do đó BDT được chứng minh

 

[tienqm123]

2, $P=\sum \dfrac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}$
$\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}}$
$MS^2 \le (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2+9) = 36$
\Rightarrow $ MS \le 6 $
\Rightarrow $P \ge \dfrac{3^2}{6} = \dfrac{3}{2}$