Toán 9 - Cực trị

[computerscience]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[tex]P= \frac{a}{\sqrt{b}} +\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}[/tex] với a,b,c là các số thực dương thõa mãn [tex]a+b+c\geq 3[/tex]
2) Cho x,y là 2 số thực thõa mãn : [tex]x+y= \frac{2007}{2006}[/tex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
[tex]P=\frac{2006}{x}+\frac{1}{2006y}[/tex]

 

[congchuaanhsang]

Bài 2:x+y=$\frac{2007}{2006}$\Leftrightarrowx=$\frac{2007}{2006}$-y
\RightarrowP=$\frac{2006}{ \frac{2007}{2006} -y}$+$\frac{1}{2006y}$
\LeftrightarrowP=$\frac{2006^2}{2007-2006y}$+$\frac{1}{2006y}$
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
P=$\frac{2006^2}{2007-2006y}$+$\frac{1^2}{2006y}$\geq$\frac{(2006+1)^2}{(2007-2006y)+2006y}$
\LeftrightarrowP\geq$\frac{2007^2}{2007}$=2007
Vậy $P_{min}$=2007\Leftrightarrowx=1;y=$\frac{1}{2006}$

 

[pandahieu]

Bài 1 chém như sau
c1: Áp dụng BĐT sau

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \ge \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
$x,y,z>0$
Là ok!

C2:

Sử dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức:
$$\dfrac{a^2}{a\sqrt{b}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{c}}+ \frac{c^2}{c\sqrt{a}} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}$$
Mà $$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}=\sqrt{a}\sqrt{ab}+\sqrt{b}\sqrt{bc}+\sqrt{c}\sqrt{ca}\le \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\le \sqrt{(a+b+c)^3}$$
Nên:
$$\dfrac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}} \ge \sqrt{a+b+c}\ge \sqrt{3}$$

Bài 2.

Sử dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức:

$$P=\dfrac{2006^2}{2006x}+\dfrac{1}{2006y} \ge \dfrac{(2006+1)^2}{2006(x+y)}=\dfrac{2007^2}{2007}=2007$$
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{2006}{2006x}=\dfrac{1}{2006y}$, tức khi $x=1,y=\dfrac{1}{2006}$.