[Toán 9] Cực Trị và giải phương trình

[san1201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho $a,b >0$ và $a+b$\leq $1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$A=a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$
2, Giải phương trình
$\sqrt{x}+\sqrt[4]{20-x}=4$

Mọi người giúp mình nha.

 

[buivanbao123]

Câu 2: Điều kiện 0 \leq x \leq 20
Đặt a=$\sqrt{x}$
b=$\sqrt[4]{20-x}$
Ta sẽ được hệ:$\left\{\begin{matrix}
a+b=4 & \\
a^{2}+b^{4}=20 &
\end{matrix}\right.$
Giải hệ ra bạn sẽ tìm được a,b có a,b thì thay vô tìm x

 

[demon311]

Câu 1:
Ta có:

$a^2+b^2 \ge \dfrac{ (a+b)^2}{2} \\
\dfrac{ 1}{a^2}+\dfrac{ 1}{b^2} \ge \dfrac{ (\dfrac{ 1}{a}+\dfrac{ 1}{b})^2}{2} \ge \dfrac{\dfrac{4^2}{(a+b)^2}}{2} =\dfrac{ 8}{(a+b)^2} $
$A \ge \dfrac{ (a+b)^2}{2}+\dfrac{ 8}{(a+b)^2} = \dfrac{ (a+b)^2}{2}+\dfrac{ 1}{2}. \dfrac{ 1}{(a+b)^2}+\dfrac{ 15}{2}.\dfrac{ 1}{(a+b)^2} \ge 2\sqrt{ \dfrac{ 1}{4}}+\dfrac{ 15}{2}.\dfrac{ 1}{1} \ge 1+\dfrac{ 15}{2}=\dfrac{ 17}{2} \\
MinA=\dfrac{ 17}{2}$
Dấu bằng xảy ra: $a=b=\dfrac{ 1}{2}$

 

[demon311]

Câu 2: giải tiếp ý của ông buivanbao123 nhé:
$\begin{cases}
a=4-b \\
(4-b)^2+b^4=20
\end{cases} \\
\begin{cases}
a=4-b \\
b^4+b^2-8b-4=0 \longrightarrow b=2
\end{cases} \\
a=b=2$

 

[lenphiatruoc]

Góp ý cho bài 2
Phần đặt ẩn phụ phải đặt điều kiện và phần giải hệ phải ghi ra hết nghiệm

 

[demon311]

Câu 2 do ông trên kia chưa đặt dk, còn mình có dựa vào đk nên chỉ có 1 nghiệm thôi

 

[lenphiatruoc]

Thế còn nghiệm còn lại của b đi đâu mất rồi .Phương trình bậc 4 trên có 2 nghiệm mà

 

[lenphiatruoc]

Lớp 9 gặp khó khăn phương trình bậc 4 liệu câu 2 còn hướng đi khác không

 

[demon311]

Bài này khá khó chắc chỉ ra cho HSG và khá thôi bạn à, cần có một số kĩ năng để giải

 

[san1201]

Lớp 9 gặp khó khăn phương trình bậc 4 liệu câu 2 còn hướng đi khác không

Đến đoạn đó là mình hiểu rồi, vừa đăng bài lên là nghĩ ra câu 2.
$b^4+b^2-8b-4=0 \longrightarrow (b-2)(b^3+2b^2+5b+2)=0$

Do $b$\geq 0 nên $b^3+2b^2+5b+2>0 \longrightarrow b=2$

Câu 1:
Ta có:

$a^2+b^2 \ge \dfrac{ (a+b)^2}{2} \\
\dfrac{ 1}{a^2}+\dfrac{ 1}{b^2} \ge \dfrac{ (\dfrac{ 1}{a}+\dfrac{ 1}{b})^2}{2} \ge \dfrac{\dfrac{4^2}{(a+b)^2}}{2} =\dfrac{ 8}{(a+b)^2} $
$A \ge \dfrac{ (a+b)^2}{2}+\dfrac{ 8}{(a+b)^2} = \dfrac{ (a+b)^2}{2}+\dfrac{ 1}{2}. \dfrac{ 1}{(a+b)^2}+\dfrac{ 15}{2}.\dfrac{ 1}{(a+b)^2} \ge 2\sqrt{ \dfrac{ 1}{4}}+\dfrac{ 15}{2}.\dfrac{ 1}{1} \ge 1+\dfrac{ 15}{2}=\dfrac{ 17}{2} \\
MinA=\dfrac{ 17}{2}$
Dấu bằng xảy ra: $a=b=\dfrac{ 1}{2}$

Thanks bạn demon311 nha, chọn điểm rơi Cauchy mà không nghĩ ra