[Toán 9]Cực trị+phương trình bậc 2

[dhkq1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Tìm min, max
a/ A= [TEX]\frac{4x+3}{x^2 +1}[/TEX]

B= [TEX]\frac{2x+1}{x^2 +2}[/TEX]

2/ Cho PT [TEX]x^2 +2x+m-1[/TEX]
Tìm m để PT có 2 nghiệm thỏa mãn [TEX]x_1^2 - x_2^2 = 8[/TEX]

Chú ý tiêu đề

 

[mua_sao_bang_98]

Bài 1

$A=\frac{4x+3}{x^2+1}$

ĐK:

pt \Leftrightarrow $Ax^2+A=4x+3$

\Leftrightarrow $Ax^2-4x+A-3=0$

+ A $\neq$ 0 \Rightarrow $\Delta ' = 4-A.(A-3)=-A^2+3A+4 $

Để pt có nghiệm thì $\Delta' \geq 0$ \Leftrightarrow $A^2-3A-4 \leq 0$ \Leftrightarrow $-1 \leq A \leq 4$ (2)

+ A =0 \Rightarrow x=3/4 (1)

Từ (1) (2) \Rightarrow $-1 \leq A \leq 4$ với x=... (Thay A vào pt rồi tìm x)

b, tương tự

 

[mua_sao_bang_98]

b, pt: $x^2+2x+m-1=0$

Để pt có hai nghiệm thì $\Delta' \geq 0$ \Leftrightarrow $1-(m-1) \geq 0$ \Leftrightarrow $m \leq 2$

Theo viet, ta có: $x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-2$ và $x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1$(1)

Để $x_1^2-x_1^2=8$ \Leftrightarrow $(x_1+x_2)(x_1-x_2)= 8$ (2 )

Từ (1) (2) \Rightarrow $x_1-x_2=-4$

Kết hợp $x_1+x_2=-2$ \Rightarrow x_1=?; x_2=? Thay vào $x_1x_2=m-1$ \Rightarrow m=? (Đối chiếu điều kiện)

 

[thinhrost1]

$$A=\dfrac{4x+3}{x^2+1}=\dfrac{x^2+4x+4-1-x^2}{x^2+1}=\dfrac{(x+2)^2-(1+x^2)}{1+x^2}=\dfrac{(x+2)^2}{x^2+1}-1\ge 1\\ \dfrac{4x+3}{x^2+1}=\dfrac{4x^2+4-4x^2+4x+1}{x^2+1}=\dfrac{4(1+x^2)-(2x+1)^2}{1+x^2}=4-\dfrac{(2x+1)^2}{1+x^2}\le 4$$

Vậy: min A là 1 khi $x=-2$, max A là 4 khi $x=\dfrac{-1}{2}$

$B=\dfrac{2x+1}{x^2+2}=\dfrac{x^2+2-x^2+2x-1}{x^2+2}=\dfrac{x^2+2-(x-1)^2}{x^2+2}=1-\dfrac{(x-1)^2}{x^2+2} \le 1 \\\text{(Dấu bằng xảy ra hay max khi x=1)}\\2B=\dfrac{4x+2}{x^2+2}=\dfrac{x^2+4x+4-x^2-2}{x^2+2}=\dfrac{(x+2)^2-(x^2+2)}{x^2+2}=\dfrac{(x+2)^2}{x^2+2}-1\ge -1 \\\rightarrow B \ge -\dfrac{1}{2} \\ \text{(Dấu bằng xảy ra hay min khi x=-2)}$