[Toán 9] Cực trị hình học

[buivanbao123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho $2$ tia $Ou,Ov$ vuông góc với nhau và một điểm $M$ cố định năm trên tia phân giác của góc $uOv$ ,($\widehat{MOu}=45^o$).Một đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $M$,cắt tia $Ou,Ov$ lần lượt tại $A,B$($A$ không trùng $B$).Xác định vị trí của $(d)$ để tam giác $OAB $có diện tích nhỏ nhất.

 

[1um1nhemtho1]

hạ $ME \perp OA$, $MF \perp OB$

Dễ chứng minh đựơc $MEOF$ là hình vuông
lúc đó đặt $MO=a $ ( $a$ không đổi vì $O$ và $M$ cố định ) thì $ME=MF= \frac{a}{\sqrt{2}}$

lúc đó
$S_{AOB}= S_{AMO}+ S_{BMO}= \frac{1}{2}.ME.AO+\frac{1}{2}.MF.BO$
$= \frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}.AO+ \frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}.BO= \frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}(AO+BO)$
Áp dụng BĐT Cauchy có $AO+BO \ge 2\sqrt{AO.BO}= 2\sqrt{2S_{AOB}}$
\Rightarrow $S_{AOB}=\frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}(AO+BO) \ge \frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}.2\sqrt{2S_{AOB}}$
\Leftrightarrow $S_{AOB} \ge a.\sqrt{S_{AOB}}$
\Leftrightarrow $S_{AOB} \ge a^2$
\Rightarrow $S_{AOB}$ đạt GTNN là $a^2$ khi và chỉ khi $AO=BO$ tức là $(d)$ vuông góc $OM$