[Toán 9] Cực trị đại số

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x, y, z in R, x+y+x=0; x+1, y-1, z+4 > 0. Tìm max: $Q=\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y-1}+ \frac{z}{z+4}$
2. Cho x, y, z > 0 x+y+z=12. Tìm max: $M= \frac{2x+y+z-15}{x} + \frac{x+2y+z-15}{y} + \frac{x+y+2z-15}{z}$
3. Cho a+b=1. Tìm min: $Q=a^3+b^3+ab$
4. Cho xy>0, $x^2+y^2=4$. Tìm min: $E=(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$
5. CHo xy>0, x+y=1. Tìm min: $A=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})$
6. Tìm min: $A=\frac{(1+x)^8+16x^4}{(1+x^2)^4}$
7. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Tìm min: $P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a-c+b}+\frac{16c}{a+b-c}$
8. Cho x,y,z >0, abc=1. Tìm min:
a. $A=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$
b. $B=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}$

 

[eye_smile]

1,Xem lại đề nhé.

2,Ta có:

$M=\dfrac{2x+y+z-15}{x}+\dfrac{x+2y+z-15}{y}+\dfrac{x+y+2z-15}{z}=\dfrac{x-3}{x}+\dfrac{y-3}{y}+\dfrac{z-3}{z}=3-3(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}) \le 3-3.\dfrac{9}{x+y+z}=3-3.\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z=4$

 

[eye_smile]

3,$Q=a^3+b^3+ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)+ab=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

4,$E=x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2x}{y}+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2y}{x} = (x^2+y^2)+2(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} \ge 4+2.2+\dfrac{4}{x^2+y^2}=4+4+1=9$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=\sqrt{2}$

 

[eye_smile]

5,$A=1-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(xy)^2}=1+\dfrac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{(xy)^2}=1+\dfrac{2xy}{(xy)^2}=1+\dfrac{2}{xy}$

Có: $xy \le \dfrac{1}{4}$

\Rightarrow $\dfrac{2}{xy} \ge 8$

\Rightarrow $A \ge 9$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

7,$b+c-a=x$

$a+c-b=y$

$a+b-c=z$

\Rightarrow $a=\dfrac{y+z}{2};b=\dfrac{x+z}{2};c=\dfrac{x+y}{2}$

\Rightarrow $P=\dfrac{2y}{x}+\dfrac{9x}{2y}+\dfrac{2z}{x}+\dfrac{8x}{z}+\dfrac{9z}{2y}+\dfrac{8y}{z} \ge 2.3+2.4+2.6=26$

 

[eye_smile]

8,

a,$A=\dfrac{bc}{a(b+c)}+\dfrac{ac}{b(a+c)}+\dfrac{ab}{c(a+b)} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2} \ge \dfrac{3}{2}$

b,Có: $\dfrac{bc}{a^2(b+c)}=\dfrac{abc}{a^3(b+c)}=\dfrac{1}{a^3(b+c)}$

Đưa về câu a

 

[dingthuy20000@gmail.com]

eye_smile cho mình hỏi bài 7 min = 26 dấu = xảy ra khi nào vậy

 

[minhhieupy2000]

8/b


Ta có: $B=\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(a+c)}+\dfrac{1}{c^3(b+a)}= \dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{a(b+c)}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{b(a+c)}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{c(b+a)}$
Áp dụng BĐT Schwart cho các phần tử của B k âm ta có:


$\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{a(b+c)}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{b(a+c)}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{c(b+a)}$ \geq $ \dfrac{(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}$ = $\dfrac{(\dfrac{ab+bc+ca}{abc})^2}{2(ab+bc+ca)}$=$\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}$\geq$\dfrac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}$ = $\dfrac{3}{2}$
\Rightarrow $B_{min}=\dfrac{3}{2}$ \Leftrightarrow $a=b=c=1$