[Toán 9]Cực trị đại số

[shayneward_1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z lớn hơn 1 và x+y+z=xyz
Tìm GTNN của:
A=[TEX]\frac{y-2}{{x}^{2}}+\frac{z-2}{{y}^{2}}+\frac{x-2}{{z}^{2}}[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Cho x,y,z lớn hơn 1 và x+y+z=xyz
Tìm GTNN của:
A=[TEX]\frac{y-2}{{x}^{2}}+\frac{z-2}{{y}^{2}}+\frac{x-2}{{z}^{2}}[/TEX]

[TEX]x+y+z=xyz[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1[/TEX]

[TEX]A=\frac{(x-1)+(y-1)}{x^2} +\frac{(y-1)+(z-1)}{y^2}+\frac{(x-1)+(z-1)}{z^2}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]
[TEX]=(x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})+(y-1)(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2})+(z-1)(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}) -(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]
[TEX]\geq \frac{2(x-1)}{xz} +\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{yz} -(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2[/TEX]
[TEX]\geq\sqrt{3.(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})^2} -2= \sqrt{3}-2[/TEX]
''='' \Leftrightarrow[TEX]x=y=z=\sqrt{3}[/TEX]