Toán 9 cực khó đây

[chinhepzoi100]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn giúp mình với nhé. Mình chứng minh bài này theo kiểu quy nạp toán học, nửa chừng bị bí, giúp mình với nhé, thanks trước nha.
Chứng minh rằng

[TEX] \sqrt[]{1}+\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+....+\sqrt[]{n} \leq n.\sqrt[]{\frac{n+1}{2}[/TEX]

 

[tunglam_95_01]

Em oi xem sach 11 nha phan quy nap y sat voi kien thuc 9 thoj.khong qua kho dau

 

[bosjeunhan]

Bạn có thể tham khảo cách này, quy nạp hơi dài 1 tí:

Áp dụng BĐT Bunhiakovsky ta có:

[TEX](\sqrt[]{1}+\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+...+\sqrt[]{n})^2 \leq (1+1+1+...+1).(1+2+3+...+n) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt[]{1}+\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+...+\sqrt[]{n})^2 \leq \frac{n^2.(n+1)}{2}[/TEX]

Từ đó suy đ.p.c.m thoai

 

[chinhepzoi100]

anh giúp em làm cách quy nạp dc ko. thầy em bắt làm cách đó

 

[hthtb22]

Mệnh đề đúng với n=1
Giả sử mệnh đề đúng với n=k
Tức là [tex]S_k=\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k} \geq k.\sqrt{\frac{k+1}{2}}[/tex]

Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

[tex]S_{k+1}=\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k+1} \geq (k+1).\sqrt{\frac{k+2}{2}}[/tex]

Ta có [tex]S_{k+1}=S_k+\sqrt{k+1} \leq k.\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}[/tex]

Ta cần chứng minh:[tex] k.\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\leq(k+1).\sqrt{ \frac{{k+2}}{{2}}}[/tex]

Điều này tương đương với:
[tex]\sqrt{k+1}.(\frac{k}{\sqrt{2}}+1) \leq \sqrt{k+1}.\sqrt{\frac{(k+1)(k+2)}{2}}[/tex]

\Leftrightarrow [tex](k+\sqrt{2})^2 \leq (k+1)(k+2)[/tex]

\Leftrightarrow [tex]k^2+2\sqrt{2}k+2 \leq k^2+3k+2[/tex]

\Leftrightarrow [tex]2\sqrt{2}k \leq 3k[/tex]
luôn đúng
Ta có đpcm