[toán 9] công thức truy hồi

[thaolovely1412]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) chứng minh phần thập phân của [TEX](5+ \sqrt{26})^n[/TEX] bắt đầu bằng n chữ số giống nhau
2) Tìm chữ số hàng đơn vị trong biểu diễn thập phân của số [TEX](15+\sqrt{220})^{19}+(15-\sqrt{220})^{82}[/TEX]
3) C/m [TEX][(2+\sqrt{3})^n][/TEX] luôn là STN lẻ
4) Giả sử [TEX]x_1,x_2[/TEX] là nghiệm của pt [TEX]x^2-ax+1=0[/TEX]
Tìm Mina để [TEX]x_1^5+x_2^5 \vdots 25[/TEX]
5) C/m [TEX]S_n=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n[/TEX] là STN
Tìm n để [TEX]S_n[/TEX] là số chính phương

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3. $\left\lfloor (2+\sqrt{3})^n \right\rfloor = x_n+\left\lfloor -(2-\sqrt{3})^n \right\rfloor=x_n-1$ với $x_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$
Nhị thức Newton ra cho ta $x_n$ là chẵn. Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2.
$$\left\lfloor (15+\sqrt{220})^{19}+(15-\sqrt{220})^{82} \right\rfloor=(15+\sqrt{220})^{19}+(15-\sqrt{220})^{19}+\left\lfloor -(15-\sqrt{220})^{19}+(15-\sqrt{220})^{82} \right\rfloor$$
Thấy rằng $10\mid (15+\sqrt{220})^{n}+(15-\sqrt{220})^{n}$ và $1>15-\sqrt{220}>0$ nên $0>-(15-\sqrt{220})^{19}+(15-\sqrt{220})^{82}>-1$
Do đó $\left\lfloor -(15-\sqrt{220})^{19}+(15-\sqrt{220})^{82} \right\rfloor=-1$
Vậy kết quả là $9$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4. Hình như $a$ phải nguyên dương.
$(x_1^2+x_2^2)(x_1^3+x_2^3)=x_1^5+x_2^5+(x_1x_2)^2(x_1+x_2)$
Do đó $x_1^5+x_2^5=a(a^4-5a^2+5)\equiv a^5\pmod{5}$
Do đó $a=5$ là giá trị cần tìm.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Hình như đề phải là $(5+\sqrt{24})^n$ mới phải, nếu đúng thế bác nói để em làm lại.
Bài 5.
$S_0=2, S_1=3, S_n=3S_{n-1}-S_{n-2}$
Ta chứng minh $S_{n}$ chia $4$ dư $3$ hoặc $2$, đầy đủ hơn là $n=3k$ thì $S_n$ chia $4$ dư $2$ và $n=3k+1, 3k+2$ thì $S_n$ chia $4$ dư $3$.
Với $n=0, n=1$ thì kết luận đúng.
Giả sử $n=k-1$ thì $S_n$ chia $4$ dư $2$ và $n=k$ thì $S_n$ chia $4$ dư $3$ thì ta có:
$$S_{k+1}=3S_{k}-S_{k-1}\equiv 9-2=7\equiv 3\pmod{4}\\
S_{k+2}=3S_{k+1}-S_{k}\equiv 9-3=6\equiv 2\pmod{4}$$
Do đó kết luận đúng với mọi $n\ge 0$
Nhưng số chính phương chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ nên không có giá trị $n$ nào thỏa.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Lúc tính bấm nhầm $5+\sqrt{28}$ nên nói là đề sai, thông cảm
$\left\{(5+\sqrt{26})^2\right\}=-\left\lfloor -(5-\sqrt{26})^n \right \rfloor-(5-\sqrt{26})^n$
Nếu $n$ lẻ thì chú ý rằng $(\sqrt{26}-5)^n \in (0,1)$ nên $\left\{(5+\sqrt{26})^2\right\}=(\sqrt{26}-5)^n\in \left(0, \dfrac{1}{10^n}\right)$
Nếu $n$ chẵn thì tương tự ta có $\left\{(5+\sqrt{26})^2\right\}=1-(\sqrt{26}-5)^n\in \left(1-\dfrac{1}{10^n}, 1\right)$
Vậy ta có điều phải chứng minh.