[Toán 9] CMR: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leq x^3+y^3 \leq 1 $

V

vansang02121998

Áp dụng Cauchy cho 3 số không âm

$x^3+x^3+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \ge \dfrac{3}{\sqrt{2}}x^2$

$y^3+y^3+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \ge \dfrac{3}{\sqrt{2}}y^2$

Cộng vế với vế

$2(x^3+y^3)+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ge \dfrac{3}{\sqrt{2}}(x^2+y^2) = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow x^3+y^3 \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
 
V

vansang02121998

Ta có

$x^2+y^2=1$

$\Leftrightarrow x^2=1-y^2 \le 1$

$\Leftrightarrow x \le 1$

$\Leftrightarrow x^3 \le x^2$

Chứng minh tương tự, $y^3 \le y^2$

Cộng vế với vế

$x^3+y^3 \le x^2+y^2 = 1$

Vậy, $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \le x^3+y^3 \le 1$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom