[Toán 9] cmr $(a_1c_2-a_2c_1)^2=(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1)$

[mamcay]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giả sử 2 ptr bâc 2 ẩn x:
$a_1x^2+b_1x+c_1=0$ và $a_2x^2+b_2x+ c_2=0$ có chung nghiệm.cmr
$(a_1c_2-a_2c_1)^2=(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1)$

 

[de_3_lo]

Giả sử 2 phương trình có nghiệm chung là $x_0$

$\Rightarrow \begin{cases} a_1x_0^2+b_1x_0+c_1=0 \\ a_2x_0^2+b_2x+c_2=0 \end{cases} \ \ (1)$

+)Nếu $x_0=0 \Rightarrow \begin{cases} c_1=0 \\ c_2 =0 \end{cases}$

$\Rightarrow (a_1c_2-a_2c_1)^2=(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1)=0$

+)Nếu $x_0 \not= 0$

$ (1) \ \Rightarrow \begin{cases}a_1a_2x_0^2+b_1a_2x_0+c_1a_2=0\\a_2a_1x_0^2+a_1b_2x+c_2a_1=0\end{cases}$

$\Rightarrow x_0(b_1a_2-a_1b_2)+(c_1a_2-c_2a_1)=0$

$\Leftrightarrow x_0(b_1a_2-a_1b_2)=(c_2a_1-c_1a_2) \ (3)$

$\Rightarrow x_0(b_1a_2-a_1b_2)(c_2a_1-c_1a_2)=(c_2a_1-c_1a_2)^2 \ (2)$

Mặt khác:$(1) \ \Rightarrow \begin{cases} a_1c_2x_0^2+b_1c_2x_0+c_1c_2=0\\ a_2c_1x_0^2+b_2c_1x_0^2+c_2c_1=0\end{cases}$

$\Rightarrow x_0^2(a_1c_2-a_2c_1)+x_0(b_1c_2-b_2c_1)=0$

$\Rightarrow x_0(a_1c_2-a_2c_1)=b_2c_1-b_1c_2$

$\Leftrightarrow a_1c_2-a_2c_1=\dfrac{b_2c_1-b_1c_2}{x_0} \ (3)$

$(2);(3) \Rightarrow (a_1c_2-a_2c_1)^2=(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1)=0$

Chứng tỏ....