[Toán 9] CMR : $A, J , I$ thẳng hàng

[p_giaminh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho điểm $S$ ở ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $SB,SC$ và cát tuyến $SDA$ (D nằm giữa S ,A)
Kẻ $AE\perp SB,AF\perp SC,AG\perp BC$ , $H$ là giao điểm của $AC$ và $FG$, $K$ là giao điểm $EG$ và $AB$. Kẻ $OI$ vuông góc $BC$ tại $I$ ,gọi $J$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp t/g $AEK$ và đ/t ngoại tiếp t/g $AHF$
CMR : $A, J , I$ thẳng hàng

 

[de_3_lo]

Ta có:

$\begin{cases} \widehat{AGH}=\widehat{ACF}=\widehat{ABC} \\ \widehat{AGK}=\widehat{ABE}=\widehat{ACB} \end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{HGK}+\widehat{HAK}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o$

$\Rightarrow \text{Tứ giác $AKGH$ nội tiếp}$

$\widehat{AJF}=\widehat{FHA}=\widehat{AKG}=180^o-\widehat{AKE}=180^o-\widehat{AJE}$

$\Rightarrow \widehat{FJE}=\widehat{AJF}+\widehat{AJE}=180^o$

$\Rightarrow F,J,E \text{thẳng hàng}$

Lại có:$\widehat{AHK}=\widehat{AGK}=\widehat{ABE}= \widehat{ACB}$

$\Rightarrow HK // BC$

Lại có:$\widehat{JHK}+\widehat{JHA}=\widehat{AHK}= \widehat{ACB}=\widehat{AFH}=\widehat{JAH}+\widehat{AHJ}$

$\Rightarrow \widehat{IHK}=\widehat{JAH}$

$\Rightarrow \text{HK là tiếp tuyến của (AJHF)}$

Gọi AJ cắt HK tại M $\Rightarrow MH^2=MJ.MA$

Chứng minh tương tự:$MK^2=MJ.MA$

$\Rightarrow MH=MK$

$\Rightarrow \text{AJ đi qua trung điểm HK}$

$\text{Mà HK // BC}$

$\Rightarrow \text{AJ đi qua I là trung điểm BC}$

Chứng tỏ A,I,J thẳng hàng
@minhtuyb: Tốt. Chỉ sai một lỗi trình bày nhỏ.
+5đ