[Toán 9] Cm $\sum x^3\ge 3$

[narutosh1998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z >0 và [TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX].CMR:
[TEX]x^3+y^3+z^3\geq3[/TEX]

 

[bosjeunhan]

Áp dụng BĐT cauchy cho hai số không âm, ta có:
[TEX]x^3+x \geq 2x^2[/TEX]
[TEX]y^3+y \geq 2y^2[/TEX]
[TEX]z^3+z \geq 2z^2[/TEX]

Cộng ba vế lại ta có
[TEX]x^3+y^3+z^3 \geq 2.(x^2+y^2+z^2) - (x+y+z)[/TEX]
Lại có: [TEX](x+y+z)^2 \leq 3.(x^2+y^2+z^2)[/TEX] (Bunhia)
Mà [TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX]
Suy ra [TEX]x^3+y^3+z^3 \geq 3[/TEX]
Dấu "=" có \Leftrightarrow x=y=z=1

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Ta có
[TEX]a^3+a^3+1 \geq 3a^2[/TEX]
[TEX]b^3+b^3+1 \geq 3b^2[/TEX]
[TEX]c^3+c^3+1 \geq 3c^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3) \geq 3(a^2+b^2+c^2) - 3 = 6[/TEX]
[TEX] \Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq 3[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1

 

[sieusaotoanhoc23]

quá dễ

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky , ta được
[TEX]x^3+y^3+z^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+\frac{z^4}{z}\geq\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}[/TEX]
Bài toán được quy về chứng minh
[TEX]\frac{9}{x+y+z}\geq3 \Leftrightarrow x+y+z\leq3 \Leftrightarrow (x+y+z)^2\leq9[/TEX]
Kết quả này đúng theo bdt Bunyakovsky
[TEX](x+y+z)^2\leq(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)=9[/TEX]
Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1